Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36592 / 38128
↖ ↑ ↗
← S 28.226970°
E 21.005859°		 ← 538.15 m → S 28.226970°
E 21.011352°		 →
↑
538.22 m
↓
↑
538.22 m
↓
S 28.231810°
E 21.005859°		 ← 538.13 m →
289 640 m²		 S 28.231810°
E 21.011352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558357238769531 y=0.581794738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558357238769531 × 216)
    floor (0.558357238769531 × 65536)
    floor (36592.5)     		tx = 36592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581794738769531 × 216)
    floor (0.581794738769531 × 65536)
    floor (38128.5)     		ty = 38128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36592 / 38128 ti = "16/36592/38128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36592/38128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36592 ÷ 216
    36592 ÷ 65536     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38128 ÷ 216
    38128 ÷ 65536     		y = 0.581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513883563927002))-π/2
    2×atan(0.598168038345507)-π/2
    2×0.53907138088346-π/2
    1.07814276176692-1.57079632675     		φ = -0.49265356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49265356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36592 KachelY 38128 0.36662141 -0.49265356 21.005859 -28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 36593 KachelY 38128 0.36671728 -0.49265356 21.011352 -28.226970
    Unten links KachelX 36592 KachelY + 1 38129 0.36662141 -0.49273804 21.005859 -28.231810
    Unten rechts KachelX + 1 36593 KachelY + 1 38129 0.36671728 -0.49273804 21.011352 -28.231810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49265356--0.49273804) × R
    8.44799999999979e-05 × 6371000     		dl = 538.222079999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49265356--0.49273804) × R
    8.44799999999979e-05 × 6371000     		dr = 538.222079999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36671728) × cos(-0.49265356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881080919624945 × 6371000     		do = 538.153450087258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36671728) × cos(-0.49273804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881040960351107 × 6371000     		du = 538.129043451499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49265356)-sin(-0.49273804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881080919624945-0.881040960351107)×R²
    abs(0.36671728-0.36662141)×3.99592738383747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99592738383747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99592738383747e-05×40589641000000     		ar = 289639.501342312m²