Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36592 / 37998
↖ ↑ ↗
← S 27.595935°
E 21.005859°		 ← 541.30 m → S 27.595935°
E 21.011352°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
S 27.600803°
E 21.005859°		 ← 541.28 m →
293 024 m²		 S 27.600803°
E 21.011352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558357238769531 y=0.579811096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558357238769531 × 216)
    floor (0.558357238769531 × 65536)
    floor (36592.5)     		tx = 36592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579811096191406 × 216)
    floor (0.579811096191406 × 65536)
    floor (37998.5)     		ty = 37998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36592 / 37998 ti = "16/36592/37998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36592/37998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36592 ÷ 216
    36592 ÷ 65536     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37998 ÷ 216
    37998 ÷ 65536     		y = 0.579803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.15960693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.501419970025787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501419970025787))-π/2
    2×atan(0.605670015545192)-π/2
    2×0.54457820241353-π/2
    1.08915640482706-1.57079632675     		φ = -0.48163992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48163992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.595935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36592 KachelY 37998 0.36662141 -0.48163992 21.005859 -27.595935
    Oben rechts KachelX + 1 36593 KachelY 37998 0.36671728 -0.48163992 21.011352 -27.595935
    Unten links KachelX 36592 KachelY + 1 37999 0.36662141 -0.48172489 21.005859 -27.600803
    Unten rechts KachelX + 1 36593 KachelY + 1 37999 0.36671728 -0.48172489 21.011352 -27.600803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48163992--0.48172489) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dl = 541.343870000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48163992--0.48172489) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dr = 541.343870000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36671728) × cos(-0.48163992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886236449499027 × 6371000     		do = 541.302384682216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36671728) × cos(-0.48172489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886197085378653 × 6371000     		du = 541.278341558915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48163992)-sin(-0.48172489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886236449499027-0.886197085378653)×R²
    abs(0.36671728-0.36662141)×3.93641203740858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93641203740858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93641203740858e-05×40589641000000     		ar = 293024.220141666m²