Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36592 / 105104
↖ ↑ ↗
← S 72.932538°
W 79.497070°		 ← 89.62 m → S 72.932538°
W 79.494324°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 72.933344°
W 79.497070°		 ← 89.62 m →
8 034 m²		 S 72.933344°
W 79.494324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279178619384766 y=0.801883697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279178619384766 × 217)
    floor (0.279178619384766 × 131072)
    floor (36592.5)     		tx = 36592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801883697509766 × 217)
    floor (0.801883697509766 × 131072)
    floor (105104.5)     		ty = 105104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36592 / 105104 ti = "17/36592/105104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36592/105104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36592 ÷ 217
    36592 ÷ 131072     		x = 0.2791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105104 ÷ 217
    105104 ÷ 131072     		y = 0.8018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38748562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89676724416638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38748562} λ = -1.38748562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89676724416638))-π/2
    2×atan(0.150052920440973)-π/2
    2×0.148941703140145-π/2
    0.29788340628029-1.57079632675     		φ = -1.27291292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38748562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.497070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27291292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.932538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36592 KachelY 105104 -1.38748562 -1.27291292 -79.497070 -72.932538
    Oben rechts KachelX + 1 36593 KachelY 105104 -1.38743769 -1.27291292 -79.494324 -72.932538
    Unten links KachelX 36592 KachelY + 1 105105 -1.38748562 -1.27292699 -79.497070 -72.933344
    Unten rechts KachelX + 1 36593 KachelY + 1 105105 -1.38743769 -1.27292699 -79.494324 -72.933344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27291292--1.27292699) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27291292--1.27292699) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38748562--1.38743769) × cos(-1.27291292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293497487489552 × 6371000     		do = 89.622988579764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38748562--1.38743769) × cos(-1.27292699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293484037105485 × 6371000     		du = 89.6188813431811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27291292)-sin(-1.27292699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293497487489552-0.293484037105485)×R²
    abs(-1.38743769--1.38748562)×1.34503840667488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34503840667488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34503840667488e-05×40589641000000     		ar = 8033.61792144043m²