Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36591 / 38030
↖ ↑ ↗
← S 27.751608°
E 21.000366°		 ← 540.59 m → S 27.751608°
E 21.005859°		 →
↑
540.52 m
↓
↑
540.52 m
↓
S 27.756469°
E 21.000366°		 ← 540.56 m →
292 190 m²		 S 27.756469°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558341979980469 y=0.580299377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558341979980469 × 216)
    floor (0.558341979980469 × 65536)
    floor (36591.5)     		tx = 36591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580299377441406 × 216)
    floor (0.580299377441406 × 65536)
    floor (38030.5)     		ty = 38030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36591 / 38030 ti = "16/36591/38030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36591/38030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36591 ÷ 216
    36591 ÷ 65536     		x = 0.558334350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38030 ÷ 216
    38030 ÷ 65536     		y = 0.580291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558334350585938 × 2 - 1) × π
    0.116668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36652553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.504487931601471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36652553} λ = 0.36652553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504487931601471))-π/2
    2×atan(0.603814690697879)-π/2
    2×0.543219699969075-π/2
    1.08643939993815-1.57079632675     		φ = -0.48435693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36652553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.000366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48435693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.751608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36591 KachelY 38030 0.36652553 -0.48435693 21.000366 -27.751608
    Oben rechts KachelX + 1 36592 KachelY 38030 0.36662141 -0.48435693 21.005859 -27.751608
    Unten links KachelX 36591 KachelY + 1 38031 0.36652553 -0.48444177 21.000366 -27.756469
    Unten rechts KachelX + 1 36592 KachelY + 1 38031 0.36662141 -0.48444177 21.005859 -27.756469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48435693--0.48444177) × R
    8.48399999999749e-05 × 6371000     		dl = 540.51563999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48435693--0.48444177) × R
    8.48399999999749e-05 × 6371000     		dr = 540.51563999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36652553-0.36662141) × cos(-0.48435693) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884974570773774 × 6371000     		do = 540.588026319483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36652553-0.36662141) × cos(-0.48444177) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		du = 540.563892782235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48435693)-sin(-0.48444177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884974570773774-0.884935062745982)×R²
    abs(0.36662141-0.36652553)×3.95080277915127e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95080277915127e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95080277915127e-05×40589641000000     		ar = 292189.760920512m²