Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36591 / 103076
↖ ↑ ↗
← S 71.219612°
W 79.499817°		 ← 98.33 m → S 71.219612°
W 79.497070°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
S 71.220497°
W 79.499817°		 ← 98.32 m →
9 666 m²		 S 71.220497°
W 79.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279170989990234 y=0.786411285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279170989990234 × 217)
    floor (0.279170989990234 × 131072)
    floor (36591.5)     		tx = 36591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786411285400391 × 217)
    floor (0.786411285400391 × 131072)
    floor (103076.5)     		ty = 103076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36591 / 103076 ti = "17/36591/103076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36591/103076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36591 ÷ 217
    36591 ÷ 131072     		x = 0.279167175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103076 ÷ 217
    103076 ÷ 131072     		y = 0.786407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279167175292969 × 2 - 1) × π
    -0.441665649414062 × 3.1415926535     		Λ = -1.38753356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.57281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79955121173691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38753356} λ = -1.38753356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79955121173691))-π/2
    2×atan(0.165373089071512)-π/2
    2×0.163889797966663-π/2
    0.327779595933327-1.57079632675     		φ = -1.24301673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38753356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.499817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24301673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.219612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36591 KachelY 103076 -1.38753356 -1.24301673 -79.499817 -71.219612
    Oben rechts KachelX + 1 36592 KachelY 103076 -1.38748562 -1.24301673 -79.497070 -71.219612
    Unten links KachelX 36591 KachelY + 1 103077 -1.38753356 -1.24303216 -79.499817 -71.220497
    Unten rechts KachelX + 1 36592 KachelY + 1 103077 -1.38748562 -1.24303216 -79.497070 -71.220497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24301673--1.24303216) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dl = 98.3045300009524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24301673--1.24303216) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dr = 98.3045300009524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38753356--1.38748562) × cos(-1.24301673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321941635872605 × 6371000     		do = 98.3292623731366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38753356--1.38748562) × cos(-1.24303216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321927027334933 × 6371000     		du = 98.3248005497078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24301673)-sin(-1.24303216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321941635872605-0.321927027334933)×R²
    abs(-1.38748562--1.38753356)×1.46085376721006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46085376721006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46085376721006e-05×40589641000000     		ar = 9665.99261448085m²