Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36590 / 105106
↖ ↑ ↗
← S 72.934150°
W 79.502564°		 ← 89.63 m → S 72.934150°
W 79.499817°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 72.934956°
W 79.502564°		 ← 89.63 m →
8 035 m²		 S 72.934956°
W 79.499817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279163360595703 y=0.801898956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279163360595703 × 217)
    floor (0.279163360595703 × 131072)
    floor (36590.5)     		tx = 36590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801898956298828 × 217)
    floor (0.801898956298828 × 131072)
    floor (105106.5)     		ty = 105106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36590 / 105106 ti = "17/36590/105106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36590/105106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36590 ÷ 217
    36590 ÷ 131072     		x = 0.279159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105106 ÷ 217
    105106 ÷ 131072     		y = 0.801895141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.441680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38758150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801895141601562 × 2 - 1) × π
    -0.603790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89686311796562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38758150} λ = -1.38758150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89686311796562))-π/2
    2×atan(0.150038534987009)-π/2
    2×0.148927634425293-π/2
    0.297855268850586-1.57079632675     		φ = -1.27294106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38758150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.502564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27294106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.934150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36590 KachelY 105106 -1.38758150 -1.27294106 -79.502564 -72.934150
    Oben rechts KachelX + 1 36591 KachelY 105106 -1.38753356 -1.27294106 -79.499817 -72.934150
    Unten links KachelX 36590 KachelY + 1 105107 -1.38758150 -1.27295513 -79.502564 -72.934956
    Unten rechts KachelX + 1 36591 KachelY + 1 105107 -1.38753356 -1.27295513 -79.499817 -72.934956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27294106--1.27295513) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27294106--1.27295513) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38758150--1.38753356) × cos(-1.27294106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293470586663319 × 6371000     		do = 89.6334710998195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38758150--1.38753356) × cos(-1.27295513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293457136163056 × 6371000     		du = 89.6293629708233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27294106)-sin(-1.27295513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293470586663319-0.293457136163056)×R²
    abs(-1.38753356--1.38758150)×1.34505002631347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34505002631347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34505002631347e-05×40589641000000     		ar = 8034.55753419728m²