Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36588 / 38204
↖ ↑ ↗
← S 28.594169°
E 20.983887°		 ← 536.35 m → S 28.594169°
E 20.989380°		 →
↑
536.31 m
↓
↑
536.31 m
↓
S 28.598992°
E 20.983887°		 ← 536.32 m →
287 642 m²		 S 28.598992°
E 20.989380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558296203613281 y=0.582954406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558296203613281 × 216)
    floor (0.558296203613281 × 65536)
    floor (36588.5)     		tx = 36588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582954406738281 × 216)
    floor (0.582954406738281 × 65536)
    floor (38204.5)     		ty = 38204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36588 / 38204 ti = "16/36588/38204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36588/38204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36588 ÷ 216
    36588 ÷ 65536     		x = 0.55828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38204 ÷ 216
    38204 ÷ 65536     		y = 0.58294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55828857421875 × 2 - 1) × π
    0.1165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36623791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.52116997266925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36623791} λ = 0.36623791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52116997266925))-π/2
    2×atan(0.593825381919699)-π/2
    2×0.535866969752074-π/2
    1.07173393950415-1.57079632675     		φ = -0.49906239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36623791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.983887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49906239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.594169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36588 KachelY 38204 0.36623791 -0.49906239 20.983887 -28.594169
    Oben rechts KachelX + 1 36589 KachelY 38204 0.36633379 -0.49906239 20.989380 -28.594169
    Unten links KachelX 36588 KachelY + 1 38205 0.36623791 -0.49914657 20.983887 -28.598992
    Unten rechts KachelX + 1 36589 KachelY + 1 38205 0.36633379 -0.49914657 20.989380 -28.598992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49906239--0.49914657) × R
    8.41799999999893e-05 × 6371000     		dl = 536.310779999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49906239--0.49914657) × R
    8.41799999999893e-05 × 6371000     		dr = 536.310779999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36623791-0.36633379) × cos(-0.49906239) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878031690256884 × 6371000     		do = 536.346957480278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36623791-0.36633379) × cos(-0.49914657) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877991398387681 × 6371000     		du = 536.322345132343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49906239)-sin(-0.49914657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878031690256884-0.877991398387681)×R²
    abs(0.36633379-0.36623791)×4.02918692034016e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.02918692034016e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.02918692034016e-05×40589641000000     		ar = 287642.055353105m²