Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36587 / 102639
↖ ↑ ↗
← S 70.829346°
W 79.510803°		 ← 100.30 m → S 70.829346°
W 79.508057°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.830248°
W 79.510803°		 ← 100.29 m →
10 057 m²		 S 70.830248°
W 79.508057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279140472412109 y=0.783077239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279140472412109 × 217)
    floor (0.279140472412109 × 131072)
    floor (36587.5)     		tx = 36587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783077239990234 × 217)
    floor (0.783077239990234 × 131072)
    floor (102639.5)     		ty = 102639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36587 / 102639 ti = "17/36587/102639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36587/102639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36587 ÷ 217
    36587 ÷ 131072     		x = 0.279136657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102639 ÷ 217
    102639 ÷ 131072     		y = 0.783073425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279136657714844 × 2 - 1) × π
    -0.441726684570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.38772531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783073425292969 × 2 - 1) × π
    -0.566146850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.77860278660294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38772531} λ = -1.38772531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77860278660294))-π/2
    2×atan(0.168873935432045)-π/2
    2×0.167295518537432-π/2
    0.334591037074864-1.57079632675     		φ = -1.23620529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38772531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.510803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23620529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.829346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36587 KachelY 102639 -1.38772531 -1.23620529 -79.510803 -70.829346
    Oben rechts KachelX + 1 36588 KachelY 102639 -1.38767737 -1.23620529 -79.508057 -70.829346
    Unten links KachelX 36587 KachelY + 1 102640 -1.38772531 -1.23622103 -79.510803 -70.830248
    Unten rechts KachelX + 1 36588 KachelY + 1 102640 -1.38767737 -1.23622103 -79.508057 -70.830248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23620529--1.23622103) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23620529--1.23622103) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38772531--1.38767737) × cos(-1.23620529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328382913324039 × 6371000     		do = 100.296594305285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38772531--1.38767737) × cos(-1.23622103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328368046150018 × 6371000     		du = 100.292053487658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23620529)-sin(-1.23622103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328382913324039-0.328368046150018)×R²
    abs(-1.38767737--1.38772531)×1.48671740216599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48671740216599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48671740216599e-05×40589641000000     		ar = 10057.4686651766m²