Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36586 / 105145
↖ ↑ ↗
← S 72.965558°
W 79.513550°		 ← 89.45 m → S 72.965558°
W 79.510803°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 72.966363°
W 79.513550°		 ← 89.45 m →
8 007 m²		 S 72.966363°
W 79.510803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279132843017578 y=0.802196502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279132843017578 × 217)
    floor (0.279132843017578 × 131072)
    floor (36586.5)     		tx = 36586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802196502685547 × 217)
    floor (0.802196502685547 × 131072)
    floor (105145.5)     		ty = 105145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36586 / 105145 ti = "17/36586/105145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36586/105145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36586 ÷ 217
    36586 ÷ 131072     		x = 0.279129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105145 ÷ 217
    105145 ÷ 131072     		y = 0.802192687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279129028320312 × 2 - 1) × π
    -0.441741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38777324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802192687988281 × 2 - 1) × π
    -0.604385375976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.8987326570508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38777324} λ = -1.38777324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8987326570508))-π/2
    2×atan(0.149758294123815)-π/2
    2×0.148653552066796-π/2
    0.297307104133593-1.57079632675     		φ = -1.27348922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38777324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.513550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27348922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.965558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36586 KachelY 105145 -1.38777324 -1.27348922 -79.513550 -72.965558
    Oben rechts KachelX + 1 36587 KachelY 105145 -1.38772531 -1.27348922 -79.510803 -72.965558
    Unten links KachelX 36586 KachelY + 1 105146 -1.38777324 -1.27350327 -79.513550 -72.966363
    Unten rechts KachelX + 1 36587 KachelY + 1 105146 -1.38772531 -1.27350327 -79.510803 -72.966363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27348922--1.27350327) × R
    1.40499999998767e-05 × 6371000     		dl = 89.5125499992142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27348922--1.27350327) × R
    1.40499999998767e-05 × 6371000     		dr = 89.5125499992142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38777324--1.38772531) × cos(-1.27348922) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292946519123059 × 6371000     		do = 89.4547437609059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38777324--1.38772531) × cos(-1.27350327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292933085484103 × 6371000     		du = 89.4506416376441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27348922)-sin(-1.27350327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292946519123059-0.292933085484103)×R²
    abs(-1.38772531--1.38777324)×1.34336389558398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34336389558398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34336389558398e-05×40589641000000     		ar = 8007.13862801916m²