Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36584 / 38363
↖ ↑ ↗
← S 29.358239°
E 20.961914°		 ← 532.35 m → S 29.358239°
E 20.967407°		 →
↑
532.36 m
↓
↑
532.36 m
↓
S 29.363027°
E 20.961914°		 ← 532.32 m →
283 393 m²		 S 29.363027°
E 20.967407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558235168457031 y=0.585380554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558235168457031 × 216)
    floor (0.558235168457031 × 65536)
    floor (36584.5)     		tx = 36584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585380554199219 × 216)
    floor (0.585380554199219 × 65536)
    floor (38363.5)     		ty = 38363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36584 / 38363 ti = "16/36584/38363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36584/38363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36584 ÷ 216
    36584 ÷ 65536     		x = 0.5582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38363 ÷ 216
    38363 ÷ 65536     		y = 0.585372924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5582275390625 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.170745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536413906748428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36585442} λ = 0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536413906748428))-π/2
    2×atan(0.584841793522496)-π/2
    2×0.529199192771171-π/2
    1.05839838554234-1.57079632675     		φ = -0.51239794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51239794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.358239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36584 KachelY 38363 0.36585442 -0.51239794 20.961914 -29.358239
    Oben rechts KachelX + 1 36585 KachelY 38363 0.36595029 -0.51239794 20.967407 -29.358239
    Unten links KachelX 36584 KachelY + 1 38364 0.36585442 -0.51248150 20.961914 -29.363027
    Unten rechts KachelX + 1 36585 KachelY + 1 38364 0.36595029 -0.51248150 20.967407 -29.363027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51239794--0.51248150) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dl = 532.360759999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51239794--0.51248150) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dr = 532.360759999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36585442-0.36595029) × cos(-0.51239794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871571379830244 × 6371000     		do = 532.345139482326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36585442-0.36595029) × cos(-0.51248150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871530409940769 × 6371000     		du = 532.320115574896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51239794)-sin(-0.51248150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871571379830244-0.871530409940769)×R²
    abs(0.36595029-0.36585442)×4.09698894754396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09698894754396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09698894754396e-05×40589641000000     		ar = 283393.002328804m²