Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36582 / 39233
↖ ↑ ↗
← S 33.436025°
E 20.950928°		 ← 509.70 m → S 33.436025°
E 20.956421°		 →
↑
509.74 m
↓
↑
509.74 m
↓
S 33.440610°
E 20.950928°		 ← 509.68 m →
259 811 m²		 S 33.440610°
E 20.956421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558204650878906 y=0.598655700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558204650878906 × 216)
    floor (0.558204650878906 × 65536)
    floor (36582.5)     		tx = 36582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598655700683594 × 216)
    floor (0.598655700683594 × 65536)
    floor (39233.5)     		ty = 39233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36582 / 39233 ti = "16/36582/39233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36582/39233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36582 ÷ 216
    36582 ÷ 65536     		x = 0.558197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39233 ÷ 216
    39233 ÷ 65536     		y = 0.598648071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558197021484375 × 2 - 1) × π
    0.11639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36566267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.197296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.619824112087326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36566267} λ = 0.36566267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619824112087326))-π/2
    2×atan(0.5380390638405)-π/2
    2×0.493613796433396-π/2
    0.987227592866792-1.57079632675     		φ = -0.58356873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36566267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.950928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58356873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.436025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36582 KachelY 39233 0.36566267 -0.58356873 20.950928 -33.436025
    Oben rechts KachelX + 1 36583 KachelY 39233 0.36575854 -0.58356873 20.956421 -33.436025
    Unten links KachelX 36582 KachelY + 1 39234 0.36566267 -0.58364874 20.950928 -33.440610
    Unten rechts KachelX + 1 36583 KachelY + 1 39234 0.36575854 -0.58364874 20.956421 -33.440610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58356873--0.58364874) × R
    8.00100000000192e-05 × 6371000     		dl = 509.743710000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58356873--0.58364874) × R
    8.00100000000192e-05 × 6371000     		dr = 509.743710000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36566267-0.36575854) × cos(-0.58356873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83450157808359 × 6371000     		do = 509.703357939146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36566267-0.36575854) × cos(-0.58364874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.834457489458506 × 6371000     		du = 509.676429146148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58356873)-sin(-0.58364874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83450157808359-0.834457489458506)×R²
    abs(0.36575854-0.36566267)×4.40886250844263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40886250844263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40886250844263e-05×40589641000000     		ar = 259811.217422751m²