Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36582 / 105150
↖ ↑ ↗
← S 72.969580°
W 79.524536°		 ← 89.45 m → S 72.969580°
W 79.521789°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 72.970385°
W 79.524536°		 ← 89.45 m →
8 001 m²		 S 72.970385°
W 79.521789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279102325439453 y=0.802234649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279102325439453 × 217)
    floor (0.279102325439453 × 131072)
    floor (36582.5)     		tx = 36582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802234649658203 × 217)
    floor (0.802234649658203 × 131072)
    floor (105150.5)     		ty = 105150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36582 / 105150 ti = "17/36582/105150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36582/105150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36582 ÷ 217
    36582 ÷ 131072     		x = 0.279098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105150 ÷ 217
    105150 ÷ 131072     		y = 0.802230834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.441802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38796499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802230834960938 × 2 - 1) × π
    -0.604461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8989723415489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38796499} λ = -1.38796499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8989723415489))-π/2
    2×atan(0.149722403683614)-π/2
    2×0.148618448719885-π/2
    0.29723689743977-1.57079632675     		φ = -1.27355943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38796499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.524536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27355943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.969580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36582 KachelY 105150 -1.38796499 -1.27355943 -79.524536 -72.969580
    Oben rechts KachelX + 1 36583 KachelY 105150 -1.38791705 -1.27355943 -79.521789 -72.969580
    Unten links KachelX 36582 KachelY + 1 105151 -1.38796499 -1.27357347 -79.524536 -72.970385
    Unten rechts KachelX + 1 36583 KachelY + 1 105151 -1.38791705 -1.27357347 -79.521789 -72.970385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27355943--1.27357347) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27355943--1.27357347) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38796499--1.38791705) × cos(-1.27355943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292879388596025 × 6371000     		do = 89.4529039926298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38796499--1.38791705) × cos(-1.27357347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292865964229666 × 6371000     		du = 89.4488038456007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27355943)-sin(-1.27357347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292879388596025-0.292865964229666)×R²
    abs(-1.38791705--1.38796499)×1.34243663585387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34243663585387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34243663585387e-05×40589641000000     		ar = 8001.27512025022m²