Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36582 / 103063
↖ ↑ ↗
← S 71.208114°
W 79.524536°		 ← 98.39 m → S 71.208114°
W 79.521789°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 71.208999°
W 79.524536°		 ← 98.38 m →
9 684 m²		 S 71.208999°
W 79.521789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279102325439453 y=0.786312103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279102325439453 × 217)
    floor (0.279102325439453 × 131072)
    floor (36582.5)     		tx = 36582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786312103271484 × 217)
    floor (0.786312103271484 × 131072)
    floor (103063.5)     		ty = 103063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36582 / 103063 ti = "17/36582/103063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36582/103063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36582 ÷ 217
    36582 ÷ 131072     		x = 0.279098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103063 ÷ 217
    103063 ÷ 131072     		y = 0.786308288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.441802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38796499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786308288574219 × 2 - 1) × π
    -0.572616577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79892803204185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38796499} λ = -1.38796499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79892803204185))-π/2
    2×atan(0.165476178340965)-π/2
    2×0.163990141309412-π/2
    0.327980282618824-1.57079632675     		φ = -1.24281604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38796499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.524536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24281604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.208114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36582 KachelY 103063 -1.38796499 -1.24281604 -79.524536 -71.208114
    Oben rechts KachelX + 1 36583 KachelY 103063 -1.38791705 -1.24281604 -79.521789 -71.208114
    Unten links KachelX 36582 KachelY + 1 103064 -1.38796499 -1.24283149 -79.524536 -71.208999
    Unten rechts KachelX + 1 36583 KachelY + 1 103064 -1.38791705 -1.24283149 -79.521789 -71.208999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24281604--1.24283149) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24281604--1.24283149) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38796499--1.38791705) × cos(-1.24281604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322131634555466 × 6371000     		do = 98.3872928614482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38796499--1.38791705) × cos(-1.24283149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322117008081008 × 6371000     		du = 98.3828255596633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24281604)-sin(-1.24283149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322131634555466-0.322117008081008)×R²
    abs(-1.38791705--1.38796499)×1.46264744581015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46264744581015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46264744581015e-05×40589641000000     		ar = 9684.23322922321m²