Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36581 / 105093
↖ ↑ ↗
← S 72.923669°
W 79.527283°		 ← 89.69 m → S 72.923669°
W 79.524536°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 72.924475°
W 79.527283°		 ← 89.68 m →
8 039 m²		 S 72.924475°
W 79.524536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279094696044922 y=0.801799774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279094696044922 × 217)
    floor (0.279094696044922 × 131072)
    floor (36581.5)     		tx = 36581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801799774169922 × 217)
    floor (0.801799774169922 × 131072)
    floor (105093.5)     		ty = 105093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36581 / 105093 ti = "17/36581/105093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36581/105093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36581 ÷ 217
    36581 ÷ 131072     		x = 0.279090881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105093 ÷ 217
    105093 ÷ 131072     		y = 0.801795959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279090881347656 × 2 - 1) × π
    -0.441818237304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.38801293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801795959472656 × 2 - 1) × π
    -0.603591918945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.89623993827056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38801293} λ = -1.38801293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89623993827056))-π/2
    2×atan(0.150132065095495)-π/2
    2×0.149019104124118-π/2
    0.298038208248237-1.57079632675     		φ = -1.27275812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38801293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.527283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27275812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.923669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36581 KachelY 105093 -1.38801293 -1.27275812 -79.527283 -72.923669
    Oben rechts KachelX + 1 36582 KachelY 105093 -1.38796499 -1.27275812 -79.524536 -72.923669
    Unten links KachelX 36581 KachelY + 1 105094 -1.38801293 -1.27277219 -79.527283 -72.924475
    Unten rechts KachelX + 1 36582 KachelY + 1 105094 -1.38796499 -1.27277219 -79.524536 -72.924475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27275812--1.27277219) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27275812--1.27277219) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38801293--1.38796499) × cos(-1.27275812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293645466556387 × 6371000     		do = 89.686883920571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38801293--1.38796499) × cos(-1.27277219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293632016811715 × 6371000     		du = 89.6827760223517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27275812)-sin(-1.27277219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293645466556387-0.293632016811715)×R²
    abs(-1.38796499--1.38801293)×1.34497446721005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34497446721005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34497446721005e-05×40589641000000     		ar = 8039.34546820415m²