Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36580 / 39212
↖ ↑ ↗
← S 33.339707°
E 20.939941°		 ← 510.32 m → S 33.339707°
E 20.945435°		 →
↑
510.25 m
↓
↑
510.25 m
↓
S 33.344296°
E 20.939941°		 ← 510.29 m →
260 386 m²		 S 33.344296°
E 20.945435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558174133300781 y=0.598335266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558174133300781 × 216)
    floor (0.558174133300781 × 65536)
    floor (36580.5)     		tx = 36580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598335266113281 × 216)
    floor (0.598335266113281 × 65536)
    floor (39212.5)     		ty = 39212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36580 / 39212 ti = "16/36580/39212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36580/39212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36580 ÷ 216
    36580 ÷ 65536     		x = 0.55816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39212 ÷ 216
    39212 ÷ 65536     		y = 0.59832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55816650390625 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.617810762303284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36547092} λ = 0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617810762303284))-π/2
    2×atan(0.539123415897187)-π/2
    2×0.494454333967721-π/2
    0.988908667935441-1.57079632675     		φ = -0.58188766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58188766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.339707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36580 KachelY 39212 0.36547092 -0.58188766 20.939941 -33.339707
    Oben rechts KachelX + 1 36581 KachelY 39212 0.36556680 -0.58188766 20.945435 -33.339707
    Unten links KachelX 36580 KachelY + 1 39213 0.36547092 -0.58196775 20.939941 -33.344296
    Unten rechts KachelX + 1 36581 KachelY + 1 39213 0.36556680 -0.58196775 20.945435 -33.344296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58188766--0.58196775) × R
    8.00899999999771e-05 × 6371000     		dl = 510.253389999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58188766--0.58196775) × R
    8.00899999999771e-05 × 6371000     		dr = 510.253389999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36547092-0.36556680) × cos(-0.58188766) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.835426677398394 × 6371000     		do = 510.321622320548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36547092-0.36556680) × cos(-0.58196775) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.835382657101559 × 6371000     		du = 510.294732457076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58188766)-sin(-0.58196775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835426677398394-0.835382657101559)×R²
    abs(0.36556680-0.36547092)×4.40202968343684e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.40202968343684e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.40202968343684e-05×40589641000000     		ar = 260386.477596249m²