Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3658 / 2343
↖ ↑ ↗
← N 60.780619°
W 19.248047°		 ← 2 385.37 m → N 60.780619°
W 19.204101°		 →
↑
2 386.19 m
↓
↑
2 386.19 m
↓
N 60.759159°
W 19.248047°		 ← 2 386.96 m →
5 693 852 m²		 N 60.759159°
W 19.204101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44659423828125 y=0.28607177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44659423828125 × 213)
    floor (0.44659423828125 × 8192)
    floor (3658.5)     		tx = 3658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28607177734375 × 213)
    floor (0.28607177734375 × 8192)
    floor (2343.5)     		ty = 2343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3658 / 2343 ti = "13/3658/2343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3658/2343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3658 ÷ 213
    3658 ÷ 8192     		x = 0.446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2343 ÷ 213
    2343 ÷ 8192     		y = 0.2860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.10693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33594179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2860107421875 × 2 - 1) × π
    0.427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34453416054333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33594179} λ = -0.33594179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34453416054333))-π/2
    2×atan(3.83639897825815)-π/2
    2×1.31580912314804-π/2
    2.63161824629607-1.57079632675     		φ = 1.06082192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33594179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.248047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06082192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.780619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3658 KachelY 2343 -0.33594179 1.06082192 -19.248047 60.780619
    Oben rechts KachelX + 1 3659 KachelY 2343 -0.33517480 1.06082192 -19.204101 60.780619
    Unten links KachelX 3658 KachelY + 1 2344 -0.33594179 1.06044738 -19.248047 60.759159
    Unten rechts KachelX + 1 3659 KachelY + 1 2344 -0.33517480 1.06044738 -19.204101 60.759159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06082192-1.06044738) × R
    0.000374539999999923 × 6371000     		dl = 2386.19433999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06082192-1.06044738) × R
    0.000374539999999923 × 6371000     		dr = 2386.19433999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33594179--0.33517480) × cos(1.06082192) × R
    0.000766990000000023 × 0.488154910393842 × 6371000     		do = 2385.36569412013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33594179--0.33517480) × cos(1.06044738) × R
    0.000766990000000023 × 0.48848175855426 × 6371000     		du = 2386.96283546286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06082192)-sin(1.06044738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488154910393842-0.48848175855426)×R²
    abs(-0.33517480--0.33594179)×0.000326848160417725×R²
    0.000766990000000023×0.000326848160417725×6371000²
    0.000766990000000023×0.000326848160417725×40589641000000     		ar = 5693851.72951774m²