Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36579 / 105123
↖ ↑ ↗
← S 72.947847°
W 79.532776°		 ← 89.54 m → S 72.947847°
W 79.530030°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.948653°
W 79.532776°		 ← 89.54 m →
8 021 m²		 S 72.948653°
W 79.530030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279079437255859 y=0.802028656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279079437255859 × 217)
    floor (0.279079437255859 × 131072)
    floor (36579.5)     		tx = 36579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802028656005859 × 217)
    floor (0.802028656005859 × 131072)
    floor (105123.5)     		ty = 105123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36579 / 105123 ti = "17/36579/105123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36579/105123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36579 ÷ 217
    36579 ÷ 131072     		x = 0.279075622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105123 ÷ 217
    105123 ÷ 131072     		y = 0.802024841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279075622558594 × 2 - 1) × π
    -0.441848754882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.38810880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802024841308594 × 2 - 1) × π
    -0.604049682617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.89767804525916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38810880} λ = -1.38810880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89767804525916))-π/2
    2×atan(0.149916314297017)-π/2
    2×0.1488081023966-π/2
    0.2976162047932-1.57079632675     		φ = -1.27318012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38810880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.532776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27318012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.947847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36579 KachelY 105123 -1.38810880 -1.27318012 -79.532776 -72.947847
    Oben rechts KachelX + 1 36580 KachelY 105123 -1.38806087 -1.27318012 -79.530030 -72.947847
    Unten links KachelX 36579 KachelY + 1 105124 -1.38810880 -1.27319418 -79.532776 -72.948653
    Unten rechts KachelX + 1 36580 KachelY + 1 105124 -1.38806087 -1.27319418 -79.530030 -72.948653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27318012--1.27319418) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27318012--1.27319418) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38810880--1.38806087) × cos(-1.27318012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293242044544816 × 6371000     		do = 89.5449860036101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38810880--1.38806087) × cos(-1.27319418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293228602618273 × 6371000     		du = 89.5408813496339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27318012)-sin(-1.27319418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293242044544816-0.293228602618273)×R²
    abs(-1.38806087--1.38810880)×1.34419265427344e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34419265427344e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34419265427344e-05×40589641000000     		ar = 8020.92110846809m²