Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36578 / 105059
↖ ↑ ↗
← S 72.896226°
W 79.535523°		 ← 89.83 m → S 72.896226°
W 79.532776°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
S 72.897033°
W 79.535523°		 ← 89.82 m →
8 063 m²		 S 72.897033°
W 79.532776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279071807861328 y=0.801540374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279071807861328 × 217)
    floor (0.279071807861328 × 131072)
    floor (36578.5)     		tx = 36578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801540374755859 × 217)
    floor (0.801540374755859 × 131072)
    floor (105059.5)     		ty = 105059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36578 / 105059 ti = "17/36578/105059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36578/105059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36578 ÷ 217
    36578 ÷ 131072     		x = 0.279067993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105059 ÷ 217
    105059 ÷ 131072     		y = 0.801536560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.441864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38815674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801536560058594 × 2 - 1) × π
    -0.603073120117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.89461008368348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38815674} λ = -1.38815674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89461008368348))-π/2
    2×atan(0.150376958046196)-π/2
    2×0.149258590332915-π/2
    0.29851718066583-1.57079632675     		φ = -1.27227915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38815674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.535523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27227915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.896226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36578 KachelY 105059 -1.38815674 -1.27227915 -79.535523 -72.896226
    Oben rechts KachelX + 1 36579 KachelY 105059 -1.38810880 -1.27227915 -79.532776 -72.896226
    Unten links KachelX 36578 KachelY + 1 105060 -1.38815674 -1.27229324 -79.535523 -72.897033
    Unten rechts KachelX + 1 36579 KachelY + 1 105060 -1.38810880 -1.27229324 -79.532776 -72.897033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27227915--1.27229324) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dl = 89.7673900004947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27227915--1.27229324) × R
    1.40900000000777e-05 × 6371000     		dr = 89.7673900004947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38815674--1.38810880) × cos(-1.27227915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294103287176075 × 6371000     		do = 89.8267141221264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38815674--1.38810880) × cos(-1.27229324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294089820296253 × 6371000     		du = 89.8226009903913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27227915)-sin(-1.27229324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294103287176075-0.294089820296253)×R²
    abs(-1.38810880--1.38815674)×1.34668798220106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34668798220106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34668798220106e-05×40589641000000     		ar = 8063.32506663183m²