Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36578 / 105058
↖ ↑ ↗
← S 72.895418°
W 79.535523°		 ← 89.83 m → S 72.895418°
W 79.532776°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 72.896226°
W 79.535523°		 ← 89.83 m →
8 069 m²		 S 72.896226°
W 79.532776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279071807861328 y=0.801532745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279071807861328 × 217)
    floor (0.279071807861328 × 131072)
    floor (36578.5)     		tx = 36578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801532745361328 × 217)
    floor (0.801532745361328 × 131072)
    floor (105058.5)     		ty = 105058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36578 / 105058 ti = "17/36578/105058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36578/105058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36578 ÷ 217
    36578 ÷ 131072     		x = 0.279067993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105058 ÷ 217
    105058 ÷ 131072     		y = 0.801528930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.441864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38815674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801528930664062 × 2 - 1) × π
    -0.603057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89456214678386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38815674} λ = -1.38815674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89456214678386))-π/2
    2×atan(0.150384166824121)-π/2
    2×0.149265639694369-π/2
    0.298531279388739-1.57079632675     		φ = -1.27226505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38815674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.535523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27226505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.895418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36578 KachelY 105058 -1.38815674 -1.27226505 -79.535523 -72.895418
    Oben rechts KachelX + 1 36579 KachelY 105058 -1.38810880 -1.27226505 -79.532776 -72.895418
    Unten links KachelX 36578 KachelY + 1 105059 -1.38815674 -1.27227915 -79.535523 -72.896226
    Unten rechts KachelX + 1 36579 KachelY + 1 105059 -1.38810880 -1.27227915 -79.532776 -72.896226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27226505--1.27227915) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27226505--1.27227915) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38815674--1.38810880) × cos(-1.27226505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294116763555204 × 6371000     		do = 89.8308301551944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38815674--1.38810880) × cos(-1.27227915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294103287176075 × 6371000     		du = 89.8267141221264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27226505)-sin(-1.27227915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294116763555204-0.294103287176075)×R²
    abs(-1.38810880--1.38815674)×1.34763791292403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34763791292403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34763791292403e-05×40589641000000     		ar = 8069.4174130549m²