Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36575 / 39231
↖ ↑ ↗
← S 33.426857°
E 20.912475°		 ← 509.81 m → S 33.426857°
E 20.917969°		 →
↑
509.74 m
↓
↑
509.74 m
↓
S 33.431441°
E 20.912475°		 ← 509.78 m →
259 866 m²		 S 33.431441°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558097839355469 y=0.598625183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558097839355469 × 216)
    floor (0.558097839355469 × 65536)
    floor (36575.5)     		tx = 36575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598625183105469 × 216)
    floor (0.598625183105469 × 65536)
    floor (39231.5)     		ty = 39231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36575 / 39231 ti = "16/36575/39231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36575/39231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36575 ÷ 216
    36575 ÷ 65536     		x = 0.558090209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39231 ÷ 216
    39231 ÷ 65536     		y = 0.598617553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558090209960938 × 2 - 1) × π
    0.116180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36499155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598617553710938 × 2 - 1) × π
    -0.197235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.619632364488846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36499155} λ = 0.36499155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619632364488846))-π/2
    2×atan(0.538142241430591)-π/2
    2×0.493693807496279-π/2
    0.987387614992559-1.57079632675     		φ = -0.58340871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36499155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.912475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58340871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.426857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36575 KachelY 39231 0.36499155 -0.58340871 20.912475 -33.426857
    Oben rechts KachelX + 1 36576 KachelY 39231 0.36508743 -0.58340871 20.917969 -33.426857
    Unten links KachelX 36575 KachelY + 1 39232 0.36499155 -0.58348872 20.912475 -33.431441
    Unten rechts KachelX + 1 36576 KachelY + 1 39232 0.36508743 -0.58348872 20.917969 -33.431441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58340871--0.58348872) × R
    8.00099999999082e-05 × 6371000     		dl = 509.743709999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58340871--0.58348872) × R
    8.00099999999082e-05 × 6371000     		dr = 509.743709999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36499155-0.36508743) × cos(-0.58340871) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834589739307041 × 6371000     		do = 509.810377448481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36499155-0.36508743) × cos(-0.58348872) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834545661366529 × 6371000     		du = 509.783452373284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58340871)-sin(-0.58348872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834589739307041-0.834545661366529)×R²
    abs(0.36508743-0.36499155)×4.40779405114222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40779405114222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40779405114222e-05×40589641000000     		ar = 259865.770891906m²