Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36575 / 39215
↖ ↑ ↗
← S 33.353474°
E 20.912475°		 ← 510.24 m → S 33.353474°
E 20.917969°		 →
↑
510.19 m
↓
↑
510.19 m
↓
S 33.358062°
E 20.912475°		 ← 510.21 m →
260 313 m²		 S 33.358062°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558097839355469 y=0.598381042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558097839355469 × 216)
    floor (0.558097839355469 × 65536)
    floor (36575.5)     		tx = 36575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598381042480469 × 216)
    floor (0.598381042480469 × 65536)
    floor (39215.5)     		ty = 39215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36575 / 39215 ti = "16/36575/39215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36575/39215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36575 ÷ 216
    36575 ÷ 65536     		x = 0.558090209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39215 ÷ 216
    39215 ÷ 65536     		y = 0.598373413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558090209960938 × 2 - 1) × π
    0.116180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36499155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598373413085938 × 2 - 1) × π
    -0.196746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.618098383701004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36499155} λ = 0.36499155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618098383701004))-π/2
    2×atan(0.538968374764406)-π/2
    2×0.494334200169925-π/2
    0.98866840033985-1.57079632675     		φ = -0.58212793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36499155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.912475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58212793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.353474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36575 KachelY 39215 0.36499155 -0.58212793 20.912475 -33.353474
    Oben rechts KachelX + 1 36576 KachelY 39215 0.36508743 -0.58212793 20.917969 -33.353474
    Unten links KachelX 36575 KachelY + 1 39216 0.36499155 -0.58220801 20.912475 -33.358062
    Unten rechts KachelX + 1 36576 KachelY + 1 39216 0.36508743 -0.58220801 20.917969 -33.358062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58212793--0.58220801) × R
    8.00800000000379e-05 × 6371000     		dl = 510.189680000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58212793--0.58220801) × R
    8.00800000000379e-05 × 6371000     		dr = 510.189680000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36499155-0.36508743) × cos(-0.58212793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835294600432717 × 6371000     		do = 510.240942910295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36499155-0.36508743) × cos(-0.58220801) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835250569559969 × 6371000     		du = 510.214046586511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58212793)-sin(-0.58220801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835294600432717-0.835250569559969)×R²
    abs(0.36508743-0.36499155)×4.40308727477356e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40308727477356e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40308727477356e-05×40589641000000     		ar = 260312.802412371m²