Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36575 / 39213
↖ ↑ ↗
← S 33.344296°
E 20.912475°		 ← 510.29 m → S 33.344296°
E 20.917969°		 →
↑
510.25 m
↓
↑
510.25 m
↓
S 33.348885°
E 20.912475°		 ← 510.27 m →
260 373 m²		 S 33.348885°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558097839355469 y=0.598350524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558097839355469 × 216)
    floor (0.558097839355469 × 65536)
    floor (36575.5)     		tx = 36575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598350524902344 × 216)
    floor (0.598350524902344 × 65536)
    floor (39213.5)     		ty = 39213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36575 / 39213 ti = "16/36575/39213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36575/39213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36575 ÷ 216
    36575 ÷ 65536     		x = 0.558090209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39213 ÷ 216
    39213 ÷ 65536     		y = 0.598342895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558090209960938 × 2 - 1) × π
    0.116180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36499155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598342895507812 × 2 - 1) × π
    -0.196685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.617906636102524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36499155} λ = 0.36499155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617906636102524))-π/2
    2×atan(0.53907173056472)-π/2
    2×0.494414287258047-π/2
    0.988828574516095-1.57079632675     		φ = -0.58196775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36499155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.912475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58196775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.344296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36575 KachelY 39213 0.36499155 -0.58196775 20.912475 -33.344296
    Oben rechts KachelX + 1 36576 KachelY 39213 0.36508743 -0.58196775 20.917969 -33.344296
    Unten links KachelX 36575 KachelY + 1 39214 0.36499155 -0.58204784 20.912475 -33.348885
    Unten rechts KachelX + 1 36576 KachelY + 1 39214 0.36508743 -0.58204784 20.917969 -33.348885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58196775--0.58204784) × R
    8.00899999999771e-05 × 6371000     		dl = 510.253389999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58196775--0.58204784) × R
    8.00899999999771e-05 × 6371000     		dr = 510.253389999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36499155-0.36508743) × cos(-0.58196775) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835382657101559 × 6371000     		do = 510.294732456781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36499155-0.36508743) × cos(-0.58204784) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.83533863144624 × 6371000     		du = 510.267839320071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58196775)-sin(-0.58204784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835382657101559-0.83533863144624)×R²
    abs(0.36508743-0.36499155)×4.40256553196905e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40256553196905e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40256553196905e-05×40589641000000     		ar = 260372.75611724m²