Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36575 / 105132
↖ ↑ ↗
← S 72.955095°
W 79.543762°		 ← 89.53 m → S 72.955095°
W 79.541015°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 72.955900°
W 79.543762°		 ← 89.52 m →
8 014 m²		 S 72.955900°
W 79.541015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279048919677734 y=0.802097320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279048919677734 × 217)
    floor (0.279048919677734 × 131072)
    floor (36575.5)     		tx = 36575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802097320556641 × 217)
    floor (0.802097320556641 × 131072)
    floor (105132.5)     		ty = 105132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36575 / 105132 ti = "17/36575/105132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36575/105132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36575 ÷ 217
    36575 ÷ 131072     		x = 0.279045104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105132 ÷ 217
    105132 ÷ 131072     		y = 0.802093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279045104980469 × 2 - 1) × π
    -0.441909790039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.38830055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.60418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89810947735574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38830055} λ = -1.38830055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89810947735574))-π/2
    2×atan(0.149851649537458)-π/2
    2×0.148744858426017-π/2
    0.297489716852034-1.57079632675     		φ = -1.27330661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38830055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.543762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27330661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.955095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36575 KachelY 105132 -1.38830055 -1.27330661 -79.543762 -72.955095
    Oben rechts KachelX + 1 36576 KachelY 105132 -1.38825261 -1.27330661 -79.541015 -72.955095
    Unten links KachelX 36575 KachelY + 1 105133 -1.38830055 -1.27332066 -79.543762 -72.955900
    Unten rechts KachelX + 1 36576 KachelY + 1 105133 -1.38825261 -1.27332066 -79.541015 -72.955900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27330661--1.27332066) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27330661--1.27332066) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38830055--1.38825261) × cos(-1.27330661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293121112923127 × 6371000     		do = 89.526732824111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38830055--1.38825261) × cos(-1.27332066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293107680035982 × 6371000     		du = 89.5226300746144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27330661)-sin(-1.27332066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293121112923127-0.293107680035982)×R²
    abs(-1.38825261--1.38830055)×1.3432887145115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3432887145115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3432887145115e-05×40589641000000     		ar = 8013.58252468203m²