Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36574 / 105061
↖ ↑ ↗
← S 72.897841°
W 79.546509°		 ← 89.82 m → S 72.897841°
W 79.543762°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
S 72.898649°
W 79.546509°		 ← 89.81 m →
8 068 m²		 S 72.898649°
W 79.543762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279041290283203 y=0.801555633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279041290283203 × 217)
    floor (0.279041290283203 × 131072)
    floor (36574.5)     		tx = 36574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801555633544922 × 217)
    floor (0.801555633544922 × 131072)
    floor (105061.5)     		ty = 105061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36574 / 105061 ti = "17/36574/105061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36574/105061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36574 ÷ 217
    36574 ÷ 131072     		x = 0.279037475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105061 ÷ 217
    105061 ÷ 131072     		y = 0.801551818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279037475585938 × 2 - 1) × π
    -0.441925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38834849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801551818847656 × 2 - 1) × π
    -0.603103637695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.89470595748272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38834849} λ = -1.38834849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89470595748272))-π/2
    2×atan(0.150362541527005)-π/2
    2×0.149244492578908-π/2
    0.298488985157817-1.57079632675     		φ = -1.27230734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38834849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.546509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27230734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.897841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36574 KachelY 105061 -1.38834849 -1.27230734 -79.546509 -72.897841
    Oben rechts KachelX + 1 36575 KachelY 105061 -1.38830055 -1.27230734 -79.543762 -72.897841
    Unten links KachelX 36574 KachelY + 1 105062 -1.38834849 -1.27232144 -79.546509 -72.898649
    Unten rechts KachelX + 1 36575 KachelY + 1 105062 -1.38830055 -1.27232144 -79.543762 -72.898649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27230734--1.27232144) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27230734--1.27232144) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38834849--1.38830055) × cos(-1.27230734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294076343800227 × 6371000     		do = 89.8184849216198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38834849--1.38830055) × cos(-1.27232144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294062867245735 × 6371000     		du = 89.8143688349915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27230734)-sin(-1.27232144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294076343800227-0.294062867245735)×R²
    abs(-1.38830055--1.38834849)×1.34765544917426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34765544917426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34765544917426e-05×40589641000000     		ar = 8068.30842474417m²