Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36573 / 39195
↖ ↑ ↗
← S 33.261657°
E 20.901489°		 ← 510.73 m → S 33.261657°
E 20.906982°		 →
↑
510.70 m
↓
↑
510.70 m
↓
S 33.266250°
E 20.901489°		 ← 510.70 m →
260 820 m²		 S 33.266250°
E 20.906982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558067321777344 y=0.598075866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558067321777344 × 216)
    floor (0.558067321777344 × 65536)
    floor (36573.5)     		tx = 36573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598075866699219 × 216)
    floor (0.598075866699219 × 65536)
    floor (39195.5)     		ty = 39195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36573 / 39195 ti = "16/36573/39195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36573/39195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36573 ÷ 216
    36573 ÷ 65536     		x = 0.558059692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39195 ÷ 216
    39195 ÷ 65536     		y = 0.598068237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558059692382812 × 2 - 1) × π
    0.116119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36479981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598068237304688 × 2 - 1) × π
    -0.196136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.616180907716202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36479981} λ = 0.36479981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616180907716202))-π/2
    2×atan(0.540002825129502)-π/2
    2×0.495135450775748-π/2
    0.990270901551496-1.57079632675     		φ = -0.58052543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36479981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.901489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58052543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.261657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36573 KachelY 39195 0.36479981 -0.58052543 20.901489 -33.261657
    Oben rechts KachelX + 1 36574 KachelY 39195 0.36489568 -0.58052543 20.906982 -33.261657
    Unten links KachelX 36573 KachelY + 1 39196 0.36479981 -0.58060559 20.901489 -33.266250
    Unten rechts KachelX + 1 36574 KachelY + 1 39196 0.36489568 -0.58060559 20.906982 -33.266250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58052543--0.58060559) × R
    8.01599999999958e-05 × 6371000     		dl = 510.699359999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58052543--0.58060559) × R
    8.01599999999958e-05 × 6371000     		dr = 510.699359999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36479981-0.36489568) × cos(-0.58052543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836174586247413 × 6371000     		do = 510.725210864719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36479981-0.36489568) × cos(-0.58060559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836130618737754 × 6371000     		du = 510.698356047542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58052543)-sin(-0.58060559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836174586247413-0.836130618737754)×R²
    abs(0.36489568-0.36479981)×4.39675096589598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39675096589598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39675096589598e-05×40589641000000     		ar = 260820.181094893m²