Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36571 / 39247
↖ ↑ ↗
← S 33.500179°
E 20.890503°		 ← 509.33 m → S 33.500179°
E 20.895996°		 →
↑
509.30 m
↓
↑
509.30 m
↓
S 33.504759°
E 20.890503°		 ← 509.30 m →
259 392 m²		 S 33.504759°
E 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558036804199219 y=0.598869323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558036804199219 × 216)
    floor (0.558036804199219 × 65536)
    floor (36571.5)     		tx = 36571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598869323730469 × 216)
    floor (0.598869323730469 × 65536)
    floor (39247.5)     		ty = 39247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36571 / 39247 ti = "16/36571/39247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36571/39247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36571 ÷ 216
    36571 ÷ 65536     		x = 0.558029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39247 ÷ 216
    39247 ÷ 65536     		y = 0.598861694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558029174804688 × 2 - 1) × π
    0.116058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36460806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598861694335938 × 2 - 1) × π
    -0.197723388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.621166345276688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36460806} λ = 0.36460806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621166345276688))-π/2
    2×atan(0.53731737439795)-π/2
    2×0.493053955742983-π/2
    0.986107911485965-1.57079632675     		φ = -0.58468842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36460806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.890503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58468842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.500179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36571 KachelY 39247 0.36460806 -0.58468842 20.890503 -33.500179
    Oben rechts KachelX + 1 36572 KachelY 39247 0.36470393 -0.58468842 20.895996 -33.500179
    Unten links KachelX 36571 KachelY + 1 39248 0.36460806 -0.58476836 20.890503 -33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 36572 KachelY + 1 39248 0.36470393 -0.58476836 20.895996 -33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58468842--0.58476836) × R
    7.99400000000006e-05 × 6371000     		dl = 509.297740000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58468842--0.58476836) × R
    7.99400000000006e-05 × 6371000     		dr = 509.297740000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36460806-0.36470393) × cos(-0.58468842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833884099698542 × 6371000     		do = 509.326209693319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36460806-0.36470393) × cos(-0.58476836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 509.299258857038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58468842)-sin(-0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833884099698542-0.833839974983535)×R²
    abs(0.36470393-0.36460806)×4.41247150072543e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41247150072543e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41247150072543e-05×40589641000000     		ar = 259391.824657677m²