Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36571 / 39205
↖ ↑ ↗
← S 33.307577°
E 20.890503°		 ← 510.46 m → S 33.307577°
E 20.895996°		 →
↑
510.44 m
↓
↑
510.44 m
↓
S 33.312168°
E 20.890503°		 ← 510.43 m →
260 553 m²		 S 33.312168°
E 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558036804199219 y=0.598228454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558036804199219 × 216)
    floor (0.558036804199219 × 65536)
    floor (36571.5)     		tx = 36571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598228454589844 × 216)
    floor (0.598228454589844 × 65536)
    floor (39205.5)     		ty = 39205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36571 / 39205 ti = "16/36571/39205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36571/39205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36571 ÷ 216
    36571 ÷ 65536     		x = 0.558029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39205 ÷ 216
    39205 ÷ 65536     		y = 0.598220825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558029174804688 × 2 - 1) × π
    0.116058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36460806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598220825195312 × 2 - 1) × π
    -0.196441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.617139645708603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36460806} λ = 0.36460806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617139645708603))-π/2
    2×atan(0.539485352005256)-π/2
    2×0.494734720013252-π/2
    0.989469440026505-1.57079632675     		φ = -0.58132689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36460806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.890503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58132689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.307577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36571 KachelY 39205 0.36460806 -0.58132689 20.890503 -33.307577
    Oben rechts KachelX + 1 36572 KachelY 39205 0.36470393 -0.58132689 20.895996 -33.307577
    Unten links KachelX 36571 KachelY + 1 39206 0.36460806 -0.58140701 20.890503 -33.312168
    Unten rechts KachelX + 1 36572 KachelY + 1 39206 0.36470393 -0.58140701 20.895996 -33.312168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58132689--0.58140701) × R
    8.01199999999058e-05 × 6371000     		dl = 510.4445199994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58132689--0.58140701) × R
    8.01199999999058e-05 × 6371000     		dr = 510.4445199994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36460806-0.36470393) × cos(-0.58132689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835734746293609 × 6371000     		do = 510.456562000178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36460806-0.36470393) × cos(-0.58140701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835690747047438 × 6371000     		du = 510.429687798728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58132689)-sin(-0.58140701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835734746293609-0.835690747047438)×R²
    abs(0.36470393-0.36460806)×4.39992461713778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39992461713778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39992461713778e-05×40589641000000     		ar = 260552.896015911m²