Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36570 / 105146
↖ ↑ ↗
← S 72.966363°
W 79.557495°		 ← 89.45 m → S 72.966363°
W 79.554749°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 72.967167°
W 79.557495°		 ← 89.45 m →
8 001 m²		 S 72.967167°
W 79.554749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279010772705078 y=0.802204132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279010772705078 × 217)
    floor (0.279010772705078 × 131072)
    floor (36570.5)     		tx = 36570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802204132080078 × 217)
    floor (0.802204132080078 × 131072)
    floor (105146.5)     		ty = 105146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36570 / 105146 ti = "17/36570/105146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36570/105146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36570 ÷ 217
    36570 ÷ 131072     		x = 0.279006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105146 ÷ 217
    105146 ÷ 131072     		y = 0.802200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.441986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38854023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.604400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89878059395042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38854023} λ = -1.38854023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89878059395042))-π/2
    2×atan(0.149751115347568)-π/2
    2×0.148646530753825-π/2
    0.29729306150765-1.57079632675     		φ = -1.27350327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38854023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.557495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27350327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.966363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36570 KachelY 105146 -1.38854023 -1.27350327 -79.557495 -72.966363
    Oben rechts KachelX + 1 36571 KachelY 105146 -1.38849230 -1.27350327 -79.554749 -72.966363
    Unten links KachelX 36570 KachelY + 1 105147 -1.38854023 -1.27351731 -79.557495 -72.967167
    Unten rechts KachelX + 1 36571 KachelY + 1 105147 -1.38849230 -1.27351731 -79.554749 -72.967167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27350327--1.27351731) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27350327--1.27351731) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38854023--1.38849230) × cos(-1.27350327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292933085484103 × 6371000     		do = 89.4506416376441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38854023--1.38849230) × cos(-1.27351731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292919661348692 × 6371000     		du = 89.446542416404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27350327)-sin(-1.27351731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292933085484103-0.292919661348692)×R²
    abs(-1.38849230--1.38854023)×1.34241354110554e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34241354110554e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34241354110554e-05×40589641000000     		ar = 8001.0727966416m²