Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3657 / 2407
↖ ↑ ↗
← N 59.377988°
W 19.291992°		 ← 2 489.04 m → N 59.377988°
W 19.248047°		 →
↑
2 489.85 m
↓
↑
2 489.85 m
↓
N 59.355596°
W 19.291992°		 ← 2 490.69 m →
6 199 391 m²		 N 59.355596°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44647216796875 y=0.29388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44647216796875 × 213)
    floor (0.44647216796875 × 8192)
    floor (3657.5)     		tx = 3657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29388427734375 × 213)
    floor (0.29388427734375 × 8192)
    floor (2407.5)     		ty = 2407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3657 / 2407 ti = "13/3657/2407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3657/2407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3657 ÷ 213
    3657 ÷ 8192     		x = 0.4464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2407 ÷ 213
    2407 ÷ 8192     		y = 0.2938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2938232421875 × 2 - 1) × π
    0.412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2954467753324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33670878} λ = -0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2954467753324))-π/2
    2×atan(3.65262751351984)-π/2
    2×1.30356886040315-π/2
    2.60713772080631-1.57079632675     		φ = 1.03634139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03634139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.377988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3657 KachelY 2407 -0.33670878 1.03634139 -19.291992 59.377988
    Oben rechts KachelX + 1 3658 KachelY 2407 -0.33594179 1.03634139 -19.248047 59.377988
    Unten links KachelX 3657 KachelY + 1 2408 -0.33670878 1.03595058 -19.291992 59.355596
    Unten rechts KachelX + 1 3658 KachelY + 1 2408 -0.33594179 1.03595058 -19.248047 59.355596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03634139-1.03595058) × R
    0.000390810000000075 × 6371000     		dl = 2489.85051000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03634139-1.03595058) × R
    0.000390810000000075 × 6371000     		dr = 2489.85051000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33670878--0.33594179) × cos(1.03634139) × R
    0.000766989999999967 × 0.509372062940262 × 6371000     		do = 2489.04316767094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33670878--0.33594179) × cos(1.03595058) × R
    0.000766989999999967 × 0.509708334170315 × 6371000     		du = 2490.68635478021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03634139)-sin(1.03595058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509372062940262-0.509708334170315)×R²
    abs(-0.33594179--0.33670878)×0.00033627123005231×R²
    0.000766989999999967×0.00033627123005231×6371000²
    0.000766989999999967×0.00033627123005231×40589641000000     		ar = 6199391.12447465m²