Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36569 / 39209
↖ ↑ ↗
← S 33.325938°
E 20.879517°		 ← 510.35 m → S 33.325938°
E 20.885009°		 →
↑
510.38 m
↓
↑
510.38 m
↓
S 33.330528°
E 20.879517°		 ← 510.32 m →
260 466 m²		 S 33.330528°
E 20.885009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558006286621094 y=0.598289489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558006286621094 × 216)
    floor (0.558006286621094 × 65536)
    floor (36569.5)     		tx = 36569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598289489746094 × 216)
    floor (0.598289489746094 × 65536)
    floor (39209.5)     		ty = 39209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36569 / 39209 ti = "16/36569/39209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36569/39209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36569 ÷ 216
    36569 ÷ 65536     		x = 0.557998657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39209 ÷ 216
    39209 ÷ 65536     		y = 0.598281860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557998657226562 × 2 - 1) × π
    0.115997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36441631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598281860351562 × 2 - 1) × π
    -0.196563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.617523140905563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36441631} λ = 0.36441631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617523140905563))-π/2
    2×atan(0.53927850162953)-π/2
    2×0.49457448675744-π/2
    0.98914897351488-1.57079632675     		φ = -0.58164735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36441631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.879517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58164735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.325938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36569 KachelY 39209 0.36441631 -0.58164735 20.879517 -33.325938
    Oben rechts KachelX + 1 36570 KachelY 39209 0.36451218 -0.58164735 20.885009 -33.325938
    Unten links KachelX 36569 KachelY + 1 39210 0.36441631 -0.58172746 20.879517 -33.330528
    Unten rechts KachelX + 1 36570 KachelY + 1 39210 0.36451218 -0.58172746 20.885009 -33.330528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58164735--0.58172746) × R
    8.01099999999666e-05 × 6371000     		dl = 510.380809999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58164735--0.58172746) × R
    8.01099999999666e-05 × 6371000     		dr = 510.380809999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36441631-0.36451218) × cos(-0.58164735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835558728111208 × 6371000     		do = 510.34905224707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36441631-0.36451218) × cos(-0.58172746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835514712904839 × 6371000     		du = 510.322168297326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58164735)-sin(-0.58172746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835558728111208-0.835514712904839)×R²
    abs(0.36451218-0.36441631)×4.40152063690968e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40152063690968e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40152063690968e-05×40589641000000     		ar = 260465.502281517m²