Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36569 / 103049
↖ ↑ ↗
← S 71.195724°
W 79.560242°		 ← 98.45 m → S 71.195724°
W 79.557495°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 71.196609°
W 79.560242°		 ← 98.45 m →
9 690 m²		 S 71.196609°
W 79.557495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279003143310547 y=0.786205291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279003143310547 × 217)
    floor (0.279003143310547 × 131072)
    floor (36569.5)     		tx = 36569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786205291748047 × 217)
    floor (0.786205291748047 × 131072)
    floor (103049.5)     		ty = 103049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36569 / 103049 ti = "17/36569/103049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36569/103049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36569 ÷ 217
    36569 ÷ 131072     		x = 0.278999328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103049 ÷ 217
    103049 ÷ 131072     		y = 0.786201477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278999328613281 × 2 - 1) × π
    -0.442001342773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.38858817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786201477050781 × 2 - 1) × π
    -0.572402954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79825691544717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38858817} λ = -1.38858817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79825691544717))-π/2
    2×atan(0.165587269423639)-π/2
    2×0.164098269595673-π/2
    0.328196539191345-1.57079632675     		φ = -1.24259979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38858817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.560242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24259979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.195724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36569 KachelY 103049 -1.38858817 -1.24259979 -79.560242 -71.195724
    Oben rechts KachelX + 1 36570 KachelY 103049 -1.38854023 -1.24259979 -79.557495 -71.195724
    Unten links KachelX 36569 KachelY + 1 103050 -1.38858817 -1.24261524 -79.560242 -71.196609
    Unten rechts KachelX + 1 36570 KachelY + 1 103050 -1.38854023 -1.24261524 -79.557495 -71.196609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24259979--1.24261524) × R
    1.54499999998059e-05 × 6371000     		dl = 98.4319499987634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24259979--1.24261524) × R
    1.54499999998059e-05 × 6371000     		dr = 98.4319499987634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38858817--1.38854023) × cos(-1.24259979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3223363497912 × 6371000     		do = 98.4498181638116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38858817--1.38854023) × cos(-1.24261524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322321724393322 × 6371000     		du = 98.4453511908417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24259979)-sin(-1.24261524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3223363497912-0.322321724393322)×R²
    abs(-1.38854023--1.38858817)×1.46253978784427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46253978784427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46253978784427e-05×40589641000000     		ar = 9690.3877324957m²