Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36567 / 39243
↖ ↑ ↗
← S 33.481854°
E 20.868530°		 ← 509.49 m → S 33.481854°
E 20.874024°		 →
↑
509.43 m
↓
↑
509.43 m
↓
S 33.486435°
E 20.868530°		 ← 509.46 m →
259 539 m²		 S 33.486435°
E 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557975769042969 y=0.598808288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557975769042969 × 216)
    floor (0.557975769042969 × 65536)
    floor (36567.5)     		tx = 36567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598808288574219 × 216)
    floor (0.598808288574219 × 65536)
    floor (39243.5)     		ty = 39243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36567 / 39243 ti = "16/36567/39243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36567/39243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36567 ÷ 216
    36567 ÷ 65536     		x = 0.557968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39243 ÷ 216
    39243 ÷ 65536     		y = 0.598800659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557968139648438 × 2 - 1) × π
    0.115936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36422456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598800659179688 × 2 - 1) × π
    -0.197601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.620782850079727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36422456} λ = 0.36422456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620782850079727))-π/2
    2×atan(0.537523472546575)-π/2
    2×0.493213867937686-π/2
    0.986427735875372-1.57079632675     		φ = -0.58436859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36422456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.868530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58436859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.481854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36567 KachelY 39243 0.36422456 -0.58436859 20.868530 -33.481854
    Oben rechts KachelX + 1 36568 KachelY 39243 0.36432044 -0.58436859 20.874024 -33.481854
    Unten links KachelX 36567 KachelY + 1 39244 0.36422456 -0.58444855 20.868530 -33.486435
    Unten rechts KachelX + 1 36568 KachelY + 1 39244 0.36432044 -0.58444855 20.874024 -33.486435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58436859--0.58444855) × R
    7.995999999999e-05 × 6371000     		dl = 509.425159999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58436859--0.58444855) × R
    7.995999999999e-05 × 6371000     		dr = 509.425159999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36422456-0.36432044) × cos(-0.58436859) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.834060583884294 × 6371000     		do = 509.487142075641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36422456-0.36432044) × cos(-0.58444855) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.834016469456278 × 6371000     		du = 509.460194711998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58436859)-sin(-0.58444855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834060583884294-0.834016469456278)×R²
    abs(0.36432044-0.36422456)×4.41144280155514e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.41144280155514e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.41144280155514e-05×40589641000000     		ar = 259538.705175503m²