Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36567 / 39240
↖ ↑ ↗
← S 33.468108°
E 20.868530°		 ← 509.57 m → S 33.468108°
E 20.874024°		 →
↑
509.49 m
↓
↑
509.49 m
↓
S 33.472690°
E 20.868530°		 ← 509.54 m →
259 612 m²		 S 33.472690°
E 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557975769042969 y=0.598762512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557975769042969 × 216)
    floor (0.557975769042969 × 65536)
    floor (36567.5)     		tx = 36567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598762512207031 × 216)
    floor (0.598762512207031 × 65536)
    floor (39240.5)     		ty = 39240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36567 / 39240 ti = "16/36567/39240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36567/39240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36567 ÷ 216
    36567 ÷ 65536     		x = 0.557968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39240 ÷ 216
    39240 ÷ 65536     		y = 0.5987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557968139648438 × 2 - 1) × π
    0.115936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36422456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620495228682007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36422456} λ = 0.36422456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620495228682007))-π/2
    2×atan(0.537678098034789)-π/2
    2×0.493333824288583-π/2
    0.986667648577166-1.57079632675     		φ = -0.58412868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36422456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.868530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58412868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.468108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36567 KachelY 39240 0.36422456 -0.58412868 20.868530 -33.468108
    Oben rechts KachelX + 1 36568 KachelY 39240 0.36432044 -0.58412868 20.874024 -33.468108
    Unten links KachelX 36567 KachelY + 1 39241 0.36422456 -0.58420865 20.868530 -33.472690
    Unten rechts KachelX + 1 36568 KachelY + 1 39241 0.36432044 -0.58420865 20.874024 -33.472690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58412868--0.58420865) × R
    7.99700000000403e-05 × 6371000     		dl = 509.488870000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58412868--0.58420865) × R
    7.99700000000403e-05 × 6371000     		dr = 509.488870000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36422456-0.36432044) × cos(-0.58412868) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.834192911715489 × 6371000     		do = 509.567974727172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36422456-0.36432044) × cos(-0.58420865) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.834148807772879 × 6371000     		du = 509.541033768555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58412868)-sin(-0.58420865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834192911715489-0.834148807772879)×R²
    abs(0.36432044-0.36422456)×4.41039426097856e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.41039426097856e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.41039426097856e-05×40589641000000     		ar = 259612.348711015m²