Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36566 / 102677
↖ ↑ ↗
← S 70.863590°
W 79.568481°		 ← 100.10 m → S 70.863590°
W 79.565735°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
S 70.864490°
W 79.568481°		 ← 100.10 m →
10 019 m²		 S 70.864490°
W 79.565735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278980255126953 y=0.783367156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278980255126953 × 217)
    floor (0.278980255126953 × 131072)
    floor (36566.5)     		tx = 36566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783367156982422 × 217)
    floor (0.783367156982422 × 131072)
    floor (102677.5)     		ty = 102677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36566 / 102677 ti = "17/36566/102677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36566/102677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36566 ÷ 217
    36566 ÷ 131072     		x = 0.278976440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102677 ÷ 217
    102677 ÷ 131072     		y = 0.783363342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.442047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38873198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783363342285156 × 2 - 1) × π
    -0.566726684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.78042438878851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38873198} λ = -1.38873198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78042438878851))-π/2
    2×atan(0.16856659431379)-π/2
    2×0.166996684197313-π/2
    0.333993368394626-1.57079632675     		φ = -1.23680296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38873198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.568481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23680296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.863590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36566 KachelY 102677 -1.38873198 -1.23680296 -79.568481 -70.863590
    Oben rechts KachelX + 1 36567 KachelY 102677 -1.38868405 -1.23680296 -79.565735 -70.863590
    Unten links KachelX 36566 KachelY + 1 102678 -1.38873198 -1.23681867 -79.568481 -70.864490
    Unten rechts KachelX + 1 36567 KachelY + 1 102678 -1.38868405 -1.23681867 -79.565735 -70.864490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23680296--1.23681867) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23680296--1.23681867) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38873198--1.38868405) × cos(-1.23680296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327818328684943 × 6371000     		do = 100.103270318503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38873198--1.38868405) × cos(-1.23681867) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32780348676682 × 6371000     		du = 100.098738160255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23680296)-sin(-1.23681867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327818328684943-0.32780348676682)×R²
    abs(-1.38868405--1.38873198)×1.48419181231207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48419181231207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48419181231207e-05×40589641000000     		ar = 10018.9503539947m²