Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36565 / 38036
↖ ↑ ↗
← S 27.780771°
E 20.857544°		 ← 540.39 m → S 27.780771°
E 20.863037°		 →
↑
540.45 m
↓
↑
540.45 m
↓
S 27.785632°
E 20.857544°		 ← 540.36 m →
292 047 m²		 S 27.785632°
E 20.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557945251464844 y=0.580390930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557945251464844 × 216)
    floor (0.557945251464844 × 65536)
    floor (36565.5)     		tx = 36565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580390930175781 × 216)
    floor (0.580390930175781 × 65536)
    floor (38036.5)     		ty = 38036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36565 / 38036 ti = "16/36565/38036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36565/38036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36565 ÷ 216
    36565 ÷ 65536     		x = 0.557937622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38036 ÷ 216
    38036 ÷ 65536     		y = 0.58038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557937622070312 × 2 - 1) × π
    0.115875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36403282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.505063174396912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36403282} λ = 0.36403282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505063174396912))-π/2
    2×atan(0.603467450530552)-π/2
    2×0.542965196443283-π/2
    1.08593039288657-1.57079632675     		φ = -0.48486593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36403282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.857544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48486593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.780771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36565 KachelY 38036 0.36403282 -0.48486593 20.857544 -27.780771
    Oben rechts KachelX + 1 36566 KachelY 38036 0.36412869 -0.48486593 20.863037 -27.780771
    Unten links KachelX 36565 KachelY + 1 38037 0.36403282 -0.48495076 20.857544 -27.785632
    Unten rechts KachelX + 1 36566 KachelY + 1 38037 0.36412869 -0.48495076 20.863037 -27.785632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48486593--0.48495076) × R
    8.48299999999802e-05 × 6371000     		dl = 540.451929999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48486593--0.48495076) × R
    8.48299999999802e-05 × 6371000     		dr = 540.451929999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36403282-0.36412869) × cos(-0.48486593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88473744571218 × 6371000     		do = 540.386811502027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36403282-0.36412869) × cos(-0.48495076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884697904135657 × 6371000     		du = 540.36265999068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48486593)-sin(-0.48495076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88473744571218-0.884697904135657)×R²
    abs(0.36412869-0.36403282)×3.95415765235274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95415765235274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95415765235274e-05×40589641000000     		ar = 292046.569032479m²