Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36564 / 39221
↖ ↑ ↗
← S 33.381000°
E 20.852051°		 ← 510.08 m → S 33.381000°
E 20.857544°		 →
↑
510 m
↓
↑
510 m
↓
S 33.385586°
E 20.852051°		 ← 510.05 m →
260 133 m²		 S 33.385586°
E 20.857544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557929992675781 y=0.598472595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557929992675781 × 216)
    floor (0.557929992675781 × 65536)
    floor (36564.5)     		tx = 36564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598472595214844 × 216)
    floor (0.598472595214844 × 65536)
    floor (39221.5)     		ty = 39221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36564 / 39221 ti = "16/36564/39221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36564/39221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36564 ÷ 216
    36564 ÷ 65536     		x = 0.55792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39221 ÷ 216
    39221 ÷ 65536     		y = 0.598464965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55792236328125 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598464965820312 × 2 - 1) × π
    -0.196929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.618673626496445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36393694} λ = 0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618673626496445))-π/2
    2×atan(0.538658426246225)-π/2
    2×0.494093989565828-π/2
    0.988187979131656-1.57079632675     		φ = -0.58260835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58260835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.381000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36564 KachelY 39221 0.36393694 -0.58260835 20.852051 -33.381000
    Oben rechts KachelX + 1 36565 KachelY 39221 0.36403282 -0.58260835 20.857544 -33.381000
    Unten links KachelX 36564 KachelY + 1 39222 0.36393694 -0.58268840 20.852051 -33.385586
    Unten rechts KachelX + 1 36565 KachelY + 1 39222 0.36403282 -0.58268840 20.857544 -33.385586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58260835--0.58268840) × R
    8.00499999999982e-05 × 6371000     		dl = 509.998549999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58260835--0.58268840) × R
    8.00499999999982e-05 × 6371000     		dr = 509.998549999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36393694-0.36403282) × cos(-0.58260835) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835030367869609 × 6371000     		do = 510.079536058056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36393694-0.36403282) × cos(-0.58268840) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.83498632137543 × 6371000     		du = 510.052630191898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58260835)-sin(-0.58268840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835030367869609-0.83498632137543)×R²
    abs(0.36403282-0.36393694)×4.40464941788843e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40464941788843e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40464941788843e-05×40589641000000     		ar = 260132.962936661m²