Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36564 / 39220
S 33.376412°
E 20.852051°
← 510.11 m → S 33.376412°
E 20.857544°

510.06 m

510.06 m
S 33.381000°
E 20.852051°
← 510.08 m →
260 179 m²
S 33.381000°
E 20.857544°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557929992675781 y=0.598457336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557929992675781 × 216)
    floor (0.557929992675781 × 65536)
    floor (36564.5)
    tx = 36564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598457336425781 × 216)
    floor (0.598457336425781 × 65536)
    floor (39220.5)
    ty = 39220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36564 / 39220 ti = "16/36564/39220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36564/39220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36564 ÷ 216
    36564 ÷ 65536
    x = 0.55792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39220 ÷ 216
    39220 ÷ 65536
    y = 0.59844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.55792236328125 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535
    Λ = 0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.59844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1968994140625 × 3.1415926535
    Φ = -0.618577752697205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36393694} λ = 0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618577752697205))-π/2
    2×atan(0.538710071951737)-π/2
    2×0.494134019388551-π/2
    0.988268038777102-1.57079632675
    φ = -0.58252829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58252829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.376412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36564 KachelY 39220 0.36393694 -0.58252829 20.852051 -33.376412
    Oben rechts KachelX + 1 36565 KachelY 39220 0.36403282 -0.58252829 20.857544 -33.376412
    Unten links KachelX 36564 KachelY + 1 39221 0.36393694 -0.58260835 20.852051 -33.381000
    Unten rechts KachelX + 1 36565 KachelY + 1 39221 0.36403282 -0.58260835 20.857544 -33.381000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.58252829--0.58260835) × R
    8.00600000000484e-05 × 6371000
    dl = 510.062260000309m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.58252829--0.58260835) × R
    8.00600000000484e-05 × 6371000
    dr = 510.062260000309m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.36393694-0.36403282) × cos(-0.58252829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835074414514281 × 6371000
    do = 510.106442016143m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.36393694-0.36403282) × cos(-0.58260835) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835030367869609 × 6371000
    du = 510.079536058056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.58252829)-sin(-0.58260835))×
    abs(λ12)×abs(0.835074414514281-0.835030367869609)×
    abs(0.36403282-0.36393694)×4.40466446723908e-05×
    9.58799999999926e-05×4.40466446723908e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40466446723908e-05×40589641000000
    ar = 260179.182937701m²