Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36564 / 102668
↖ ↑ ↗
← S 70.855485°
W 79.573975°		 ← 100.16 m → S 70.855485°
W 79.571228°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
S 70.856385°
W 79.573975°		 ← 100.16 m →
10 032 m²		 S 70.856385°
W 79.571228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278964996337891 y=0.783298492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278964996337891 × 217)
    floor (0.278964996337891 × 131072)
    floor (36564.5)     		tx = 36564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783298492431641 × 217)
    floor (0.783298492431641 × 131072)
    floor (102668.5)     		ty = 102668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36564 / 102668 ti = "17/36564/102668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36564/102668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36564 ÷ 217
    36564 ÷ 131072     		x = 0.278961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102668 ÷ 217
    102668 ÷ 131072     		y = 0.783294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.44207763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38882786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.56658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77999295669193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38882786} λ = -1.38882786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77999295669193))-π/2
    2×atan(0.168639335043203)-π/2
    2×0.167067414285336-π/2
    0.334134828570672-1.57079632675     		φ = -1.23666150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38882786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.573975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23666150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.855485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36564 KachelY 102668 -1.38882786 -1.23666150 -79.573975 -70.855485
    Oben rechts KachelX + 1 36565 KachelY 102668 -1.38877992 -1.23666150 -79.571228 -70.855485
    Unten links KachelX 36564 KachelY + 1 102669 -1.38882786 -1.23667722 -79.573975 -70.856385
    Unten rechts KachelX + 1 36565 KachelY + 1 102669 -1.38877992 -1.23667722 -79.571228 -70.856385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23666150--1.23667722) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dl = 100.152119999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23666150--1.23667722) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dr = 100.152119999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38882786--1.38877992) × cos(-1.23666150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327951968435409 × 6371000     		do = 100.164972643776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38882786--1.38877992) × cos(-1.23667722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327937117798945 × 6371000     		du = 100.160436877144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23666150)-sin(-1.23667722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327951968435409-0.327937117798945)×R²
    abs(-1.38877992--1.38882786)×1.48506364639478e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48506364639478e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48506364639478e-05×40589641000000     		ar = 10031.5072268321m²