Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36563 / 39218
↖ ↑ ↗
← S 33.367238°
E 20.846558°		 ← 510.11 m → S 33.367238°
E 20.852051°		 →
↑
510.06 m
↓
↑
510.06 m
↓
S 33.371825°
E 20.846558°		 ← 510.08 m →
260 179 m²		 S 33.371825°
E 20.852051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557914733886719 y=0.598426818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557914733886719 × 216)
    floor (0.557914733886719 × 65536)
    floor (36563.5)     		tx = 36563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598426818847656 × 216)
    floor (0.598426818847656 × 65536)
    floor (39218.5)     		ty = 39218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36563 / 39218 ti = "16/36563/39218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36563/39218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36563 ÷ 216
    36563 ÷ 65536     		x = 0.557907104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39218 ÷ 216
    39218 ÷ 65536     		y = 0.598419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557907104492188 × 2 - 1) × π
    0.115814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36384107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.19683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.618386005098724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36384107} λ = 0.36384107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618386005098724))-π/2
    2×atan(0.538813378218359)-π/2
    2×0.494214085367985-π/2
    0.98842817073597-1.57079632675     		φ = -0.58236816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36384107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.846558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58236816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.367238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36563 KachelY 39218 0.36384107 -0.58236816 20.846558 -33.367238
    Oben rechts KachelX + 1 36564 KachelY 39218 0.36393694 -0.58236816 20.852051 -33.367238
    Unten links KachelX 36563 KachelY + 1 39219 0.36384107 -0.58244822 20.846558 -33.371825
    Unten rechts KachelX + 1 36564 KachelY + 1 39219 0.36393694 -0.58244822 20.852051 -33.371825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58236816--0.58244822) × R
    8.00599999999374e-05 × 6371000     		dl = 510.062259999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58236816--0.58244822) × R
    8.00599999999374e-05 × 6371000     		dr = 510.062259999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36384107-0.36393694) × cos(-0.58236816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835162497245888 × 6371000     		do = 510.107039280436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36384107-0.36393694) × cos(-0.58244822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835118461307159 × 6371000     		du = 510.08014266762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58236816)-sin(-0.58244822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835162497245888-0.835118461307159)×R²
    abs(0.36393694-0.36384107)×4.40359387293698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40359387293698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40359387293698e-05×40589641000000     		ar = 260179.489962565m²