Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36563 / 102679
↖ ↑ ↗
← S 70.865391°
W 79.576721°		 ← 100.09 m → S 70.865391°
W 79.573975°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
S 70.866291°
W 79.576721°		 ← 100.09 m →
10 018 m²		 S 70.866291°
W 79.573975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278957366943359 y=0.783382415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278957366943359 × 217)
    floor (0.278957366943359 × 131072)
    floor (36563.5)     		tx = 36563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783382415771484 × 217)
    floor (0.783382415771484 × 131072)
    floor (102679.5)     		ty = 102679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36563 / 102679 ti = "17/36563/102679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36563/102679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36563 ÷ 217
    36563 ÷ 131072     		x = 0.278953552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102679 ÷ 217
    102679 ÷ 131072     		y = 0.783378601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278953552246094 × 2 - 1) × π
    -0.442092895507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.38887579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783378601074219 × 2 - 1) × π
    -0.566757202148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.78052026258775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38887579} λ = -1.38887579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78052026258775))-π/2
    2×atan(0.168550433968658)-π/2
    2×0.166980970314587-π/2
    0.333961940629175-1.57079632675     		φ = -1.23683439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38887579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.576721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23683439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.865391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36563 KachelY 102679 -1.38887579 -1.23683439 -79.576721 -70.865391
    Oben rechts KachelX + 1 36564 KachelY 102679 -1.38882786 -1.23683439 -79.573975 -70.865391
    Unten links KachelX 36563 KachelY + 1 102680 -1.38887579 -1.23685010 -79.576721 -70.866291
    Unten rechts KachelX + 1 36564 KachelY + 1 102680 -1.38882786 -1.23685010 -79.573975 -70.866291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23683439--1.23685010) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23683439--1.23685010) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38887579--1.38882786) × cos(-1.23683439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327788635320282 × 6371000     		do = 100.094203092392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38887579--1.38882786) × cos(-1.23685010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327773793240305 × 6371000     		du = 100.089670884721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23683439)-sin(-1.23685010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327788635320282-0.327773793240305)×R²
    abs(-1.38882786--1.38887579)×1.48420799774285e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48420799774285e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48420799774285e-05×40589641000000     		ar = 10018.0428271924m²