Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36563 / 102667
↖ ↑ ↗
← S 70.854584°
W 79.576721°		 ← 100.15 m → S 70.854584°
W 79.573975°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
S 70.855485°
W 79.576721°		 ← 100.14 m →
10 030 m²		 S 70.855485°
W 79.573975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278957366943359 y=0.783290863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278957366943359 × 217)
    floor (0.278957366943359 × 131072)
    floor (36563.5)     		tx = 36563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783290863037109 × 217)
    floor (0.783290863037109 × 131072)
    floor (102667.5)     		ty = 102667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36563 / 102667 ti = "17/36563/102667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36563/102667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36563 ÷ 217
    36563 ÷ 131072     		x = 0.278953552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102667 ÷ 217
    102667 ÷ 131072     		y = 0.783287048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278953552246094 × 2 - 1) × π
    -0.442092895507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.38887579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783287048339844 × 2 - 1) × π
    -0.566574096679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.77994501979231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38887579} λ = -1.38887579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77994501979231))-π/2
    2×atan(0.168647419283844)-π/2
    2×0.167075274963658-π/2
    0.334150549927317-1.57079632675     		φ = -1.23664578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38887579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.576721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23664578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.854584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36563 KachelY 102667 -1.38887579 -1.23664578 -79.576721 -70.854584
    Oben rechts KachelX + 1 36564 KachelY 102667 -1.38882786 -1.23664578 -79.573975 -70.854584
    Unten links KachelX 36563 KachelY + 1 102668 -1.38887579 -1.23666150 -79.576721 -70.855485
    Unten rechts KachelX + 1 36564 KachelY + 1 102668 -1.38882786 -1.23666150 -79.573975 -70.855485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23664578--1.23666150) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dl = 100.152120001041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23664578--1.23666150) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dr = 100.152120001041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38887579--1.38882786) × cos(-1.23664578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32796681899083 × 6371000     		do = 100.148613619744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38887579--1.38882786) × cos(-1.23666150) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327951968435409 × 6371000     		du = 100.144078823994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23664578)-sin(-1.23666150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32796681899083-0.327951968435409)×R²
    abs(-1.38882786--1.38887579)×1.48505554211642e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48505554211642e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48505554211642e-05×40589641000000     		ar = 10029.8688847303m²