Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36562 / 39203
↖ ↑ ↗
← S 33.298395°
E 20.841064°		 ← 510.56 m → S 33.298395°
E 20.846558°		 →
↑
510.51 m
↓
↑
510.51 m
↓
S 33.302986°
E 20.841064°		 ← 510.54 m →
260 640 m²		 S 33.302986°
E 20.846558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557899475097656 y=0.598197937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557899475097656 × 216)
    floor (0.557899475097656 × 65536)
    floor (36562.5)     		tx = 36562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598197937011719 × 216)
    floor (0.598197937011719 × 65536)
    floor (39203.5)     		ty = 39203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36562 / 39203 ti = "16/36562/39203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36562/39203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36562 ÷ 216
    36562 ÷ 65536     		x = 0.557891845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39203 ÷ 216
    39203 ÷ 65536     		y = 0.598190307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557891845703125 × 2 - 1) × π
    0.11578369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36374519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598190307617188 × 2 - 1) × π
    -0.196380615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.616947898110123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36374519} λ = 0.36374519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616947898110123))-π/2
    2×atan(0.53958880694422)-π/2
    2×0.494814849296896-π/2
    0.989629698593792-1.57079632675     		φ = -0.58116663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36374519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.841064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58116663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.298395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36562 KachelY 39203 0.36374519 -0.58116663 20.841064 -33.298395
    Oben rechts KachelX + 1 36563 KachelY 39203 0.36384107 -0.58116663 20.846558 -33.298395
    Unten links KachelX 36562 KachelY + 1 39204 0.36374519 -0.58124676 20.841064 -33.302986
    Unten rechts KachelX + 1 36563 KachelY + 1 39204 0.36384107 -0.58124676 20.846558 -33.302986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58116663--0.58124676) × R
    8.01299999999561e-05 × 6371000     		dl = 510.50822999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58116663--0.58124676) × R
    8.01299999999561e-05 × 6371000     		dr = 510.50822999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36374519-0.36384107) × cos(-0.58116663) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835822739671377 × 6371000     		do = 510.563557545876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36374519-0.36384107) × cos(-0.58124676) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.835778745665684 × 6371000     		du = 510.536683742388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58116663)-sin(-0.58124676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835822739671377-0.835778745665684)×R²
    abs(0.36384107-0.36374519)×4.39940056924382e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39940056924382e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39940056924382e-05×40589641000000     		ar = 260640.038555657m²