Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36560 / 105141
↖ ↑ ↗
← S 72.962339°
W 79.584961°		 ← 89.47 m → S 72.962339°
W 79.582215°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 72.963144°
W 79.584961°		 ← 89.47 m →
8 003 m²		 S 72.963144°
W 79.582215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278934478759766 y=0.802165985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278934478759766 × 217)
    floor (0.278934478759766 × 131072)
    floor (36560.5)     		tx = 36560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802165985107422 × 217)
    floor (0.802165985107422 × 131072)
    floor (105141.5)     		ty = 105141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36560 / 105141 ti = "17/36560/105141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36560/105141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36560 ÷ 217
    36560 ÷ 131072     		x = 0.2789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105141 ÷ 217
    105141 ÷ 131072     		y = 0.802162170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38901960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802162170410156 × 2 - 1) × π
    -0.604324340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.89854090945232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38901960} λ = -1.38901960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89854090945232))-π/2
    2×atan(0.149787012670334)-π/2
    2×0.148681640537027-π/2
    0.297363281074054-1.57079632675     		φ = -1.27343305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38901960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27343305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.962339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36560 KachelY 105141 -1.38901960 -1.27343305 -79.584961 -72.962339
    Oben rechts KachelX + 1 36561 KachelY 105141 -1.38897167 -1.27343305 -79.582215 -72.962339
    Unten links KachelX 36560 KachelY + 1 105142 -1.38901960 -1.27344709 -79.584961 -72.963144
    Unten rechts KachelX + 1 36561 KachelY + 1 105142 -1.38897167 -1.27344709 -79.582215 -72.963144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27343305--1.27344709) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27343305--1.27344709) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38901960--1.38897167) × cos(-1.27343305) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.293000224417202 × 6371000     		do = 89.4711433181326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38901960--1.38897167) × cos(-1.27344709) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.292986800570617 × 6371000     		du = 89.467044185089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27343305)-sin(-1.27344709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293000224417202-0.292986800570617)×R²
    abs(-1.38897167--1.38901960)×1.34238465851477e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.34238465851477e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.34238465851477e-05×40589641000000     		ar = 8002.90665188913m²