Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3656 / 2450
↖ ↑ ↗
← N 58.401712°
W 19.335937°		 ← 2 560.33 m → N 58.401712°
W 19.291992°		 →
↑
2 561.21 m
↓
↑
2 561.21 m
↓
N 58.378678°
W 19.335937°		 ← 2 562 m →
6 559 672 m²		 N 58.378678°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44635009765625 y=0.29913330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44635009765625 × 213)
    floor (0.44635009765625 × 8192)
    floor (3656.5)     		tx = 3656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29913330078125 × 213)
    floor (0.29913330078125 × 8192)
    floor (2450.5)     		ty = 2450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3656 / 2450 ti = "13/3656/2450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3656/2450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3656 ÷ 213
    3656 ÷ 8192     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2450 ÷ 213
    2450 ÷ 8192     		y = 0.299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299072265625 × 2 - 1) × π
    0.40185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2624661883938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2624661883938))-π/2
    2×atan(3.53412657069642)-π/2
    2×1.29504924208807-π/2
    2.59009848417614-1.57079632675     		φ = 1.01930216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01930216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.401712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3656 KachelY 2450 -0.33747577 1.01930216 -19.335937 58.401712
    Oben rechts KachelX + 1 3657 KachelY 2450 -0.33670878 1.01930216 -19.291992 58.401712
    Unten links KachelX 3656 KachelY + 1 2451 -0.33747577 1.01890015 -19.335937 58.378678
    Unten rechts KachelX + 1 3657 KachelY + 1 2451 -0.33670878 1.01890015 -19.291992 58.378678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01930216-1.01890015) × R
    0.000402010000000175 × 6371000     		dl = 2561.20571000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01930216-1.01890015) × R
    0.000402010000000175 × 6371000     		dr = 2561.20571000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33670878) × cos(1.01930216) × R
    0.000766990000000023 × 0.52396045883088 × 6371000     		do = 2560.32926630249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33670878) × cos(1.01890015) × R
    0.000766990000000023 × 0.524302825520623 × 6371000     		du = 2562.00223883464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01930216)-sin(1.01890015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52396045883088-0.524302825520623)×R²
    abs(-0.33670878--0.33747577)×0.000342366689743301×R²
    0.000766990000000023×0.000342366689743301×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342366689743301×40589641000000     		ar = 6559672.43808026m²