Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3656 / 2249
↖ ↑ ↗
← N 62.734601°
W 19.335937°		 ← 2 238.57 m → N 62.734601°
W 19.291992°		 →
↑
2 239.34 m
↓
↑
2 239.34 m
↓
N 62.714462°
W 19.335937°		 ← 2 240.09 m →
5 014 624 m²		 N 62.714462°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44635009765625 y=0.27459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44635009765625 × 213)
    floor (0.44635009765625 × 8192)
    floor (3656.5)     		tx = 3656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27459716796875 × 213)
    floor (0.27459716796875 × 8192)
    floor (2249.5)     		ty = 2249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3656 / 2249 ti = "13/3656/2249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3656/2249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3656 ÷ 213
    3656 ÷ 8192     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2249 ÷ 213
    2249 ÷ 8192     		y = 0.2745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    0.450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4166312575719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4166312575719))-π/2
    2×atan(4.12320699565769)-π/2
    2×1.33286083350281-π/2
    2.66572166700563-1.57079632675     		φ = 1.09492534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09492534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.734601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3656 KachelY 2249 -0.33747577 1.09492534 -19.335937 62.734601
    Oben rechts KachelX + 1 3657 KachelY 2249 -0.33670878 1.09492534 -19.291992 62.734601
    Unten links KachelX 3656 KachelY + 1 2250 -0.33747577 1.09457385 -19.335937 62.714462
    Unten rechts KachelX + 1 3657 KachelY + 1 2250 -0.33670878 1.09457385 -19.291992 62.714462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09492534-1.09457385) × R
    0.000351490000000121 × 6371000     		dl = 2239.34279000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09492534-1.09457385) × R
    0.000351490000000121 × 6371000     		dr = 2239.34279000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33670878) × cos(1.09492534) × R
    0.000766990000000023 × 0.458112835825777 × 6371000     		do = 2238.5652983256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33670878) × cos(1.09457385) × R
    0.000766990000000023 × 0.458425244889664 × 6371000     		du = 2240.09188312001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09492534)-sin(1.09457385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458112835825777-0.458425244889664)×R²
    abs(-0.33670878--0.33747577)×0.000312409063886909×R²
    0.000766990000000023×0.000312409063886909×6371000²
    0.000766990000000023×0.000312409063886909×40589641000000     		ar = 5014624.38570694m²