Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36559 / 105137
↖ ↑ ↗
← S 72.959120°
W 79.587708°		 ← 89.51 m → S 72.959120°
W 79.584961°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 72.959925°
W 79.587708°		 ← 89.50 m →
8 012 m²		 S 72.959925°
W 79.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278926849365234 y=0.802135467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278926849365234 × 217)
    floor (0.278926849365234 × 131072)
    floor (36559.5)     		tx = 36559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802135467529297 × 217)
    floor (0.802135467529297 × 131072)
    floor (105137.5)     		ty = 105137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36559 / 105137 ti = "17/36559/105137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36559/105137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36559 ÷ 217
    36559 ÷ 131072     		x = 0.278923034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105137 ÷ 217
    105137 ÷ 131072     		y = 0.802131652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278923034667969 × 2 - 1) × π
    -0.442153930664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.38906754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802131652832031 × 2 - 1) × π
    -0.604263305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.89834916185384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38906754} λ = -1.38906754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89834916185384))-π/2
    2×atan(0.149815736724093)-π/2
    2×0.148709734157252-π/2
    0.297419468314505-1.57079632675     		φ = -1.27337686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38906754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.587708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27337686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.959120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36559 KachelY 105137 -1.38906754 -1.27337686 -79.587708 -72.959120
    Oben rechts KachelX + 1 36560 KachelY 105137 -1.38901960 -1.27337686 -79.584961 -72.959120
    Unten links KachelX 36559 KachelY + 1 105138 -1.38906754 -1.27339091 -79.587708 -72.959925
    Unten rechts KachelX + 1 36560 KachelY + 1 105138 -1.38901960 -1.27339091 -79.584961 -72.959925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27337686--1.27339091) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27337686--1.27339091) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38906754--1.38901960) × cos(-1.27337686) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.293053947908827 × 6371000     		do = 89.5062189003308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38906754--1.38901960) × cos(-1.27339091) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.293040514732407 × 6371000     		du = 89.5021160624823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27337686)-sin(-1.27339091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293053947908827-0.293040514732407)×R²
    abs(-1.38901960--1.38906754)×1.34331764195528e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.34331764195528e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.34331764195528e-05×40589641000000     		ar = 8011.74626689914m²