Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36558 / 103022
↖ ↑ ↗
← S 71.171805°
W 79.590454°		 ← 98.57 m → S 71.171805°
W 79.587708°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.172691°
W 79.590454°		 ← 98.57 m →
9 715 m²		 S 71.172691°
W 79.587708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278919219970703 y=0.785999298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278919219970703 × 217)
    floor (0.278919219970703 × 131072)
    floor (36558.5)     		tx = 36558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785999298095703 × 217)
    floor (0.785999298095703 × 131072)
    floor (103022.5)     		ty = 103022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36558 / 103022 ti = "17/36558/103022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36558/103022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36558 ÷ 217
    36558 ÷ 131072     		x = 0.278915405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103022 ÷ 217
    103022 ÷ 131072     		y = 0.785995483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.442169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38911548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785995483398438 × 2 - 1) × π
    -0.571990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79696261915743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38911548} λ = -1.38911548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79696261915743))-π/2
    2×atan(0.165801727168075)-π/2
    2×0.16430699680346-π/2
    0.32861399360692-1.57079632675     		φ = -1.24218233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38911548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.590454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24218233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.171805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36558 KachelY 103022 -1.38911548 -1.24218233 -79.590454 -71.171805
    Oben rechts KachelX + 1 36559 KachelY 103022 -1.38906754 -1.24218233 -79.587708 -71.171805
    Unten links KachelX 36558 KachelY + 1 103023 -1.38911548 -1.24219780 -79.590454 -71.172691
    Unten rechts KachelX + 1 36559 KachelY + 1 103023 -1.38906754 -1.24219780 -79.587708 -71.172691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24218233--1.24219780) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24218233--1.24219780) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38911548--1.38906754) × cos(-1.24218233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322731499850313 × 6371000     		do = 98.5705071630272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38911548--1.38906754) × cos(-1.24219780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322716857602742 × 6371000     		du = 98.5660350437275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24218233)-sin(-1.24219780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322731499850313-0.322716857602742)×R²
    abs(-1.38906754--1.38911548)×1.4642247571417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4642247571417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4642247571417e-05×40589641000000     		ar = 9714.82670230965m²