Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36557 / 39237
↖ ↑ ↗
← S 33.454360°
E 20.813599°		 ← 509.60 m → S 33.454360°
E 20.819092°		 →
↑
509.62 m
↓
↑
509.62 m
↓
S 33.458943°
E 20.813599°		 ← 509.57 m →
259 691 m²		 S 33.458943°
E 20.819092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557823181152344 y=0.598716735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557823181152344 × 216)
    floor (0.557823181152344 × 65536)
    floor (36557.5)     		tx = 36557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598716735839844 × 216)
    floor (0.598716735839844 × 65536)
    floor (39237.5)     		ty = 39237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36557 / 39237 ti = "16/36557/39237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36557/39237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36557 ÷ 216
    36557 ÷ 65536     		x = 0.557815551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39237 ÷ 216
    39237 ÷ 65536     		y = 0.598709106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557815551757812 × 2 - 1) × π
    0.115631103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36326583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.197418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620207607284286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36326583} λ = 0.36326583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620207607284286))-π/2
    2×atan(0.537832768003)-π/2
    2×0.493453799667909-π/2
    0.986907599335818-1.57079632675     		φ = -0.58388873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36326583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.813599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58388873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.454360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36557 KachelY 39237 0.36326583 -0.58388873 20.813599 -33.454360
    Oben rechts KachelX + 1 36558 KachelY 39237 0.36336170 -0.58388873 20.819092 -33.454360
    Unten links KachelX 36557 KachelY + 1 39238 0.36326583 -0.58396872 20.813599 -33.458943
    Unten rechts KachelX + 1 36558 KachelY + 1 39238 0.36336170 -0.58396872 20.819092 -33.458943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58388873--0.58396872) × R
    7.99900000000298e-05 × 6371000     		dl = 509.61629000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58388873--0.58396872) × R
    7.99900000000298e-05 × 6371000     		dr = 509.61629000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36326583-0.36336170) × cos(-0.58388873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.834325213584106 × 6371000     		do = 509.595636659799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36326583-0.36336170) × cos(-0.58396872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.834281114622719 × 6371000     		du = 509.568701553514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58388873)-sin(-0.58396872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834325213584106-0.834281114622719)×R²
    abs(0.36336170-0.36326583)×4.4098961387018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4098961387018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4098961387018e-05×40589641000000     		ar = 259691.374609033m²