Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36557 / 102585
↖ ↑ ↗
← S 70.780582°
W 79.593200°		 ← 100.52 m → S 70.780582°
W 79.590454°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.781486°
W 79.593200°		 ← 100.52 m →
10 106 m²		 S 70.781486°
W 79.590454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278911590576172 y=0.782665252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278911590576172 × 217)
    floor (0.278911590576172 × 131072)
    floor (36557.5)     		tx = 36557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782665252685547 × 217)
    floor (0.782665252685547 × 131072)
    floor (102585.5)     		ty = 102585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36557 / 102585 ti = "17/36557/102585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36557/102585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36557 ÷ 217
    36557 ÷ 131072     		x = 0.278907775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102585 ÷ 217
    102585 ÷ 131072     		y = 0.782661437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278907775878906 × 2 - 1) × π
    -0.442184448242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.38916341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782661437988281 × 2 - 1) × π
    -0.565322875976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.77601419402346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38916341} λ = -1.38916341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77601419402346))-π/2
    2×atan(0.169311647532902)-π/2
    2×0.167721063298095-π/2
    0.335442126596189-1.57079632675     		φ = -1.23535420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38916341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.593200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23535420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.780582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36557 KachelY 102585 -1.38916341 -1.23535420 -79.593200 -70.780582
    Oben rechts KachelX + 1 36558 KachelY 102585 -1.38911548 -1.23535420 -79.590454 -70.780582
    Unten links KachelX 36557 KachelY + 1 102586 -1.38916341 -1.23536998 -79.593200 -70.781486
    Unten rechts KachelX + 1 36558 KachelY + 1 102586 -1.38911548 -1.23536998 -79.590454 -70.781486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23535420--1.23536998) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23535420--1.23536998) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38916341--1.38911548) × cos(-1.23535420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329186686830307 × 6371000     		do = 100.521114939538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38916341--1.38911548) × cos(-1.23536998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329171786289837 × 6371000     		du = 100.516564880252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23535420)-sin(-1.23536998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329186686830307-0.329171786289837)×R²
    abs(-1.38911548--1.38916341)×1.4900540470153e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4900540470153e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4900540470153e-05×40589641000000     		ar = 10105.5992488349m²