Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36556 / 39180
↖ ↑ ↗
← S 33.192731°
E 20.808105°		 ← 511.18 m → S 33.192731°
E 20.813599°		 →
↑
511.15 m
↓
↑
511.15 m
↓
S 33.197328°
E 20.808105°		 ← 511.15 m →
261 281 m²		 S 33.197328°
E 20.813599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557807922363281 y=0.597846984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557807922363281 × 216)
    floor (0.557807922363281 × 65536)
    floor (36556.5)     		tx = 36556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597846984863281 × 216)
    floor (0.597846984863281 × 65536)
    floor (39180.5)     		ty = 39180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36556 / 39180 ti = "16/36556/39180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36556/39180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36556 ÷ 216
    36556 ÷ 65536     		x = 0.55780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39180 ÷ 216
    39180 ÷ 65536     		y = 0.59783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55780029296875 × 2 - 1) × π
    0.1156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36316995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.6147428007276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36316995} λ = 0.36316995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.6147428007276))-π/2
    2×atan(0.540779965637847)-π/2
    2×0.495736942072363-π/2
    0.991473884144726-1.57079632675     		φ = -0.57932244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36316995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.808105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57932244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.192731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36556 KachelY 39180 0.36316995 -0.57932244 20.808105 -33.192731
    Oben rechts KachelX + 1 36557 KachelY 39180 0.36326583 -0.57932244 20.813599 -33.192731
    Unten links KachelX 36556 KachelY + 1 39181 0.36316995 -0.57940267 20.808105 -33.197328
    Unten rechts KachelX + 1 36557 KachelY + 1 39181 0.36326583 -0.57940267 20.813599 -33.197328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57932244--0.57940267) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dl = 511.145330000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57932244--0.57940267) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dr = 511.145330000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36316995-0.36326583) × cos(-0.57932244) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8368337769806 × 6371000     		do = 511.18115118255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36316995-0.36326583) × cos(-0.57940267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.836789851807643 × 6371000     		du = 511.15431942564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57932244)-sin(-0.57940267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8368337769806-0.836789851807643)×R²
    abs(0.36326583-0.36316995)×4.39251729565937e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39251729565937e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39251729565937e-05×40589641000000     		ar = 261281.000887675m²